자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

  1. A항상 첫 번째 원소를 선택하기
  2. B퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
  3. C왼쪽에만 재귀를 사용하기
  4. D피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조보통

도로망에 교차로가 100,000개 있고, 각 교차로는 다른 교차로 약 4개와 연결됩니다. 가장 적합한 표현은 무엇입니까?

  1. A간선들의 이진 힙
  2. B인접 리스트
  3. C인접 행렬
  4. D정점들의 정렬된 배열 하나
4.자료구조어려움

레드-블랙 트리가 반드시 만족해야 하는 성질은 무엇입니까?

  1. A한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
  2. B모든 빨간 노드의 자식은 빨간색이어야 하므로 빨간 노드가 리프까지 끊기지 않는 사슬을 이룬다
  3. C모든 노드는 빨간색이어야 한다
  4. D루트는 빨간색이어야 한다
5.그래프 이론보통
ABCDEFG오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
1318121411710ABCDE

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n log n)

이것이 답인 이유

안쪽 루프는 n번의 바깥 반복마다 약 log₂ n번 실행되므로 O(n log n)입니다.

답

C · O(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 사용하면 모든 입력에 대해 기대 실행 시간이 O(n log n)입니다. 나쁜 경우는 여전히 존재하지만 발생할 가능성은 매우 낮습니다.

답

D · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조

답: B · 인접 리스트

이것이 답인 이유

행렬은 1010개의 칸이 필요하고 거의 모두 비어 있을 것입니다. 인접 리스트는 약 400,000개의 간선 항목만 저장합니다.

답

B · 인접 리스트
4.자료구조

답: A · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다

이것이 답인 이유

레드-블랙 규칙: 노드는 빨간색 또는 검은색이고, 루트는 검은색이며, 빨간 노드의 자식은 검은색이고, 모든 경로의 블랙 높이가 같습니다. 이로써 높이가 ≤ 2 log₂(n + 1)로 유지됩니다.

답

A · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: 간선 AB

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. DE (7)
2. BE (10)
3. CE (11)
4. AB (13)

간선 번호 4

AB

답

간선 AB

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