자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가득 차면 용량을 두 배로 늘리는 동적 배열에 원소를 추가하는 연산의 분할 상환(amortised) 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

마지막 두 값만 유지하는 루프로 n번째 피보나치 수를 계산할 때 시간과 공간 비용은 얼마입니까?

  1. AO(n) 시간과 O(n) 공간
  2. BO(log n) 시간과 O(n) 공간
  3. CO(n) 시간과 O(1) 공간
  4. DO(2ⁿ) 시간과 O(1) 공간
3.자료구조보통

이진 힙을 포인터 없이 배열에 저장할 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A배열이 키를 자동으로 정렬된 순서로 유지하므로 포인터가 필요 없기 때문에
  2. B완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
  3. C힙에는 원소가 100개를 넘지 않기 때문에
  4. D힙의 모든 키가 같기 때문에
4.자료구조어려움

이진 힙에서 decrease-key(원소의 위치를 알고 있는 경우)의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
8114141618123ABCDEF

프림 알고리즘이 정점 B에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Bk = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(1)

이것이 답인 이유

모든 원소의 복사는 크기가 2의 거듭제곱일 때만 발생하므로, 모든 추가 연산에 나누어 보면 추가 한 번당 평균 비용은 상수입니다.

답

B · O(1)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n) 시간과 O(1) 공간

이것이 답인 이유

각 단계에는 이전 두 값만 필요하므로 상향식 방법의 표를 변수 두 개로 바꿀 수 있습니다.

답

C · O(n) 시간과 O(1) 공간
3.자료구조

답: B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에

이것이 답인 이유

완전 트리이므로 빈틈이 없어, 인덱스 i의 자식은 항상 2i + 1과 2i + 2에 있습니다.

답

B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
4.자료구조

답: B · O(log n)

이것이 답인 이유

키를 감소시킨 후 원소는 최대 힙의 높이만큼 위로 이동합니다(sift up). 피보나치 힙은 분할 상환 O(1) decrease-key를 달성합니다.

답

B · O(log n)
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: 간선 BD

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. BE (3)
2. BC (4)
3. AB (8)
4. EF (12)
5. BD (14)

간선 번호 5

BD

답

간선 BD

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