자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬이 항상 첫 원소를 피벗으로 사용합니다. 어떤 입력에서 최악의 경우 동작을 보입니까?

  1. A원소가 모두 다른 배열
  2. B무작위 순서의 배열
  3. C이미 정렬된 배열
  4. D길이가 2인 배열
2.알고리즘과 복잡도어려움

마지막 두 값만 유지하는 루프로 n번째 피보나치 수를 계산할 때 시간과 공간 비용은 얼마입니까?

  1. AO(log n) 시간과 O(n) 공간
  2. BO(n) 시간과 O(1) 공간
  3. CO(2ⁿ) 시간과 O(1) 공간
  4. DO(n) 시간과 O(n) 공간
3.자료구조보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 인접 리스트는 메모리를 얼마나 사용합니까?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.자료구조어려움

키 5, 3, 8, 1을 이 순서로 빈 배열 기반 이진 최소 힙에 삽입합니다. 최종 배열은 무엇입니까?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
134192014312ABCDE

프림 알고리즘이 정점 A에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ak = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 이미 정렬된 배열

이것이 답인 이유

정렬된 입력에서는 피벗이 항상 최솟값이므로 한쪽은 비고 다른 쪽에 n − 1개의 원소가 남아 O(n²)이 됩니다.

답

C · 이미 정렬된 배열
2.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n) 시간과 O(1) 공간

이것이 답인 이유

각 단계에는 이전 두 값만 필요하므로 상향식 방법의 표를 변수 두 개로 바꿀 수 있습니다.

답

B · O(n) 시간과 O(1) 공간
3.자료구조

답: D · O(V + E)

이것이 답인 이유

각 정점에 리스트가 있고 각 간선은 한 번(방향 그래프) 또는 두 번(무방향 그래프) 나타나므로 O(V + E)입니다.

답

D · O(V + E)
4.자료구조

답: C · [1, 3, 8, 5]

이것이 답인 이유

5, 3, 8 다음에 배열은 [3, 5, 8]입니다. 1은 인덱스 3에 들어가 부모 5와 교환된 뒤 3과 교환되어 [1, 3, 8, 5]가 됩니다.

답

C · [1, 3, 8, 5]
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: 간선 DE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. AC (4)
2. AB (13)
3. BE (12)
4. DE (3)

간선 번호 4

DE

답

간선 DE

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