자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

사이클을 만들지 않는 가장 저렴한 간선을 반복적으로 추가하여 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘은 무엇입니까?

  1. A하나의 노드에서 시작하는 Prim 알고리즘
  2. BDijkstra 알고리즘
  3. CKruskal 알고리즘
  4. DFloyd–Warshall
3.자료구조보통

이진 탐색 트리의 한 노드에 오른쪽 서브트리가 있습니다. 그 노드의 중위 후속자(in-order successor)는 어디에 있습니까?

  1. A항상 오른쪽 자식
  2. B왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드
  3. C오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
  4. D항상 부모
4.자료구조어려움

정점이 V개이고 인접 행렬로 저장된 그래프에서 너비 우선 탐색의 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 42 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

E에서 B까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

C · Ω(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · Kruskal 알고리즘

이것이 답인 이유

Kruskal은 간선을 가중치 순으로 정렬하고 서로 다른 컴포넌트를 연결하는 간선을 추가합니다. Prim은 시작 정점에서 하나의 트리를 키워 나갑니다.

답

C · Kruskal 알고리즘
3.자료구조

답: C · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드

이것이 답인 이유

노드보다 크면서 가까운 키는 모두 오른쪽 서브트리에 있고, 그중 가장 작은 것은 그곳의 가장 왼쪽 노드입니다.

답

C · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
4.자료구조

답: D · O(V²)

이것이 답인 이유

V개의 각 정점이 V개 항목의 행을 훑으므로 O(V²)입니다. 인접 리스트를 쓰면 BFS는 O(V + E)입니다.

답

D · O(V²)
5.그래프 이론

답: L = 16

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

답

L = 16

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

답

N = 1

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