자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬이 항상 첫 원소를 피벗으로 사용합니다. 어떤 입력에서 최악의 경우 동작을 보입니까?

  1. A무작위 순서의 배열
  2. B이미 정렬된 배열
  3. C원소가 모두 다른 배열
  4. D길이가 2인 배열
2.알고리즘과 복잡도어려움

외판원 문제는 어떻게 분류됩니까?

  1. A결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
  2. B결정 불가능하다
  3. C결정 버전은 P에 속하지만 최적화 버전은 NP-complete이다
  4. D다익스트라 알고리즘이 모든 도시를 한 번씩 방문하여 풀기 때문에 P에 속한다
3.자료구조보통

이진 힙에 새 원소는 어떻게 삽입됩니까?

  1. A힙 전체를 처음부터 다시 만든다
  2. B더 큰 원소들을 모두 오른쪽으로 한 칸씩 밀어 정렬된 위치에 삽입한다
  3. C루트에 놓고 아래로 내린다(sift down)
  4. D배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)
4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

  1. Afront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다
  2. Bfront와 rear를 같은 변수에 저장한다
  3. C원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
  4. D버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
1411429947121ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 이미 정렬된 배열

이것이 답인 이유

정렬된 입력에서는 피벗이 항상 최솟값이므로 한쪽은 비고 다른 쪽에 n − 1개의 원소가 남아 O(n²)이 됩니다.

답

B · 이미 정렬된 배열
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다

이것이 답인 이유

"길이가 최대 k인 순회가 있는가?"는 NP-complete입니다. 최단 순회를 찾는 것은 최소한 그만큼 어려우므로 NP-hard입니다.

답

A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
3.자료구조

답: D · 배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)

이것이 답인 이유

끝에 추가하면 트리가 완전 트리로 유지되고, 부모와 교환하면 O(log n) 단계로 순서가 회복됩니다.

답

D · 배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)
4.자료구조

답: C · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

C · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

홀수 정점

B, C, D, E → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(F) = 20

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): C: 14
C (14): B: 15, E: 16, G: 26
B (15): D: 29, G: 22
E (16): D: 25, F: 20
F (20)
G (22): D: 23
D (23)

최단 경로

A → C → E → F
d(F) = 20

답

d(F) = 20

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