자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬된 배열에서 비교 기반 탐색은 왜 최악의 경우 Ω(log n)번의 비교가 필요합니까?

  1. A모든 원소를 최소 한 번은 비교해야 하기 때문에
  2. B가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
  3. C비교 하나하나가 로그 시간이 걸리기 때문에
  4. D이진 탐색이 유일하게 가능한 알고리즘이며 log₂ n번의 비교가 필요하기 때문에
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
  2. B배열의 마지막 원소를 제거한다
  3. C모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  4. D마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조어려움

배열에서 크기 k인 모든 윈도우의 최댓값을 전체 O(n)에 계산할 수 있게 하는 구조는 무엇입니까?

  1. A값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
  2. B윈도우마다 다시 만드는 최소 힙
  3. C윈도우 원소들의 단일 연결 리스트
  4. D이동으로 갱신하는 정렬된 배열
5.그래프 이론보통
ABCDEFG오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
4731397812123ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

C · Ω(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

이것이 답인 이유

각 비교는 남은 가능성의 집합을 많아야 절반으로 줄이므로, n개의 위치를 구별하려면 최소 log₂ n번의 비교가 필요합니다.

답

B · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
3.자료구조

답: D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: A · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱

이것이 답인 이유

덱의 앞은 항상 윈도우의 최댓값입니다. 각 인덱스는 덱에 한 번 들어오고 한 번 나가므로 작업량은 선형입니다.

답

A · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

홀수 정점

B, C, E, F → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(F) = 28

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 4, C: 7
B (4)
C (7): E: 20, G: 19
G (19): D: 31
E (20): D: 29, F: 28
F (28)
D (29)

최단 경로

A → C → E → F
d(F) = 28

답

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms