자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

AΩ(n)
BΩ(n²)
CΩ(log n)
DΩ(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

단일 연결 리스트에서 이진 탐색이 O(log n) 시간을 주지 못하는 이유는 무엇입니까?

A연결 리스트는 정렬할 수 없기 때문에
B연결 리스트 노드의 비교가 더 느리기 때문에
C이진 탐색에는 최소 두 배의 메모리가 필요하기 때문에
D직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

3.자료구조보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 인접 리스트는 메모리를 얼마나 사용합니까?

AO(E²)
BO(V × E)
CO(V²)
DO(V + E)

4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

A버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
B원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
Cfront와 rear를 같은 변수에 저장한다
Dfront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 5

L =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

D · Ω(n log n)

2.알고리즘과 복잡도

답: D · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

이것이 답인 이유

이진 탐색은 가운데에 O(1)로 접근해야 합니다. 연결 리스트에서는 그곳까지 걸어가는 데 선형 시간이 들어 전체가 O(n)이 됩니다.

답

D · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

3.자료구조

답: D · O(V + E)

이것이 답인 이유

각 정점에 리스트가 있고 각 간선은 한 번(방향 그래프) 또는 두 번(무방향 그래프) 나타나므로 O(V + E)입니다.

답

D · O(V + E)

4.자료구조

답: B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

5.그래프 이론

답: L = 22

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 40 = 2(L + 10) − 2

L = 22

답

L = 22

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 19

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 9, C: 12

B (9): D: 17, G: 19

C (12): E: 23

D (17): E: 22, F: 19

F (19)

G (19)

E (22)

최단 경로

A → B → D → F

d(F) = 19

답

d(F) = 19

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