자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(n)의 해는 무엇입니까?

AO(n)
BO(2ⁿ)
CO(n log n)
DO(n²)

2.알고리즘과 복잡도어려움

클래스 P의 올바른 정의는 무엇입니까?

A해를 다항 시간에 검증할 수는 있지만 찾는 것은 절대 불가능한 문제
B병렬로 풀 수 있는 문제
C결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제
D모든 컴퓨터에서 지수 시간이 필요한 문제

3.자료구조보통

인접 행렬로 간선 (u, v)가 존재하는지 확인하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(log V)
BO(1)
CO(E)
DO(V)

4.자료구조어려움

기수 트리(radix tree, 압축 트라이)는 일반 트라이를 어떻게 개선합니까?

A각 단어의 첫 글자만 유지한다
B각 단어를 개별 노드가 아니라 루트의 해시 테이블에 저장한다
C각 노드의 자식을 빈도순으로 정렬한다
D자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₄의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₄

H =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 E까지의 최단 경로의 길이 d(E)을(를) 구하시오.

시작: A끝: E

d(E) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n²)

이것이 답인 이유

작업량의 합은 약 n² / 2이며, 이는 선택 정렬이나 최악의 피벗을 고른 퀵 정렬의 점화식입니다.

답

D · O(n²)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제

이것이 답인 이유

P는 그래프가 연결되어 있는지 확인하는 것처럼 결정적 다항 시간 알고리즘이 있는 결정 문제를 포함합니다.

답

C · 결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제

3.자료구조

답: B · O(1)

이것이 답인 이유

행 u, 열 v의 행렬 항목이 간선의 존재 여부를 즉시 알려 줍니다. 인접 리스트는 u의 이웃을 훑어야 할 수도 있습니다.

답

B · O(1)

4.자료구조

답: D · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

이것이 답인 이유

분기가 없는 경로를 접으면 접두사 탐색은 유지하면서 노드 수와 메모리 사용량이 줄어듭니다.

답

D · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

5.그래프 이론

답: H = 3

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

답

H = 3

6.그래프 이론

답: d(E) = 23

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 13, C: 9

C (9): G: 18

B (13): D: 15, G: 16

D (15): E: 23, F: 16

F (16)

G (16)

E (23)

최단 경로

A → B → D → E

d(E) = 23

답

d(E) = 23

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