자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

활동 선택 문제에서 겹치지 않는 활동의 수를 항상 최대로 만드는 탐욕적 규칙은 무엇입니까?

  1. A가장 짧은 활동을 먼저 고른다
  2. B가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
  3. C겹침이 가장 적은 활동을 먼저 고른 뒤, 호환되는 활동들로 반복한다
  4. D가장 일찍 시작하는 활동을 고른다
2.알고리즘과 복잡도어려움

해시 테이블의 평균 조회 시간은 O(1)인데 최악의 경우는 O(n)인 이유는 무엇입니까?

  1. A많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
  2. B배열 접근이 O(n)이기 때문이다
  3. C해시 함수가 느리기 때문이다
  4. D키를 먼저 정렬해야 하기 때문이다
3.자료구조보통

적재율이 임계값을 넘은 뒤 해시 테이블이 재해싱(rehash)하면 무슨 일이 일어납니까?

  1. A기존 키를 제자리에서 정렬한다
  2. B자리를 만들기 위해 가장 오래된 키를 삭제한다
  3. C충돌한 키만 테이블 끝의 새 오버플로 리스트로 옮긴다
  4. D더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. A임의 위치에 원소 삽입
  2. BO(1)에 중앙값 찾기
  3. C배열 정렬과 이진 탐색
  4. D접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 17개이고 간선이 25개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.그래프 이론어려움
61719162912ABCDE

프림 알고리즘이 정점 D에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 2번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Dk = 2
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다

이것이 답인 이유

가장 이른 종료 시간을 고르는 것은 교환 논증으로 최적임을 증명할 수 있습니다. 다른 규칙에는 반례가 있습니다.

답

B · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

좋은 해시 함수와 적재율(load factor)이면 버킷은 평균적으로 짧게 유지됩니다. 악의적인 입력이나 나쁜 해싱은 모든 키를 하나의 버킷에 넣을 수 있습니다.

답

A · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
3.자료구조

답: D · 더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다

이것이 답인 이유

인덱스는 테이블 크기로 나눈 나머지로 계산되므로 모든 키를 새로운 더 큰 테이블로 다시 해시해야 합니다. 크기를 두 배로 늘리면 이는 분할 상환 O(1)로 유지됩니다.

답

D · 더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다
4.자료구조

답: D · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

D · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

17 − 1 = 16

제거할 간선

k = 25 − 16 = 9

답

k = 9
6.그래프 이론

답: 간선 CE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. DE (9)
2. CE (2)
3. BE (12)
4. AB (6)

간선 번호 2

CE

답

간선 CE

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