자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

활동 선택 문제에서 겹치지 않는 활동의 수를 항상 최대로 만드는 탐욕적 규칙은 무엇입니까?

  1. A가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
  2. B가장 짧은 활동을 먼저 고른다
  3. C가장 일찍 시작하는 활동을 고른다
  4. D겹침이 가장 적은 활동을 먼저 고른 뒤, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

카라추바 곱셈은 T(n) = 3T(n/2) + O(n)을 만족합니다. 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3), 약 n1.585
3.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.자료구조어려움

블룸 필터는 "이 원소가 집합에 있는가?"라는 질문에 어떻게 답합니까?

  1. A항상 정확한 답을 준다
  2. B거짓 음성은 있을 수 있지만 거짓 양성은 없다
  3. C거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
  4. D숫자에 대해서만 답한다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 14개이고 간선이 25개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 14|E| = 25
k =
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

F에서 A까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다

이것이 답인 이유

가장 이른 종료 시간을 고르는 것은 교환 논증으로 최적임을 증명할 수 있습니다. 다른 규칙에는 반례가 있습니다.

답

A · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도

답: D · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585

이것이 답인 이유

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1이므로 마스터 정리에 따라 잎이 지배하며, O(n²)인 초등학교 방법보다 빠릅니다.

답

D · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585
3.자료구조

답: D · O(log n)

이것이 답인 이유

균형 트리의 높이는 약 log₂ n이므로, 탐색은 루트에서 리프까지 하나의 경로만 따라갑니다.

답

D · O(log n)
4.자료구조

답: C · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다

이것이 답인 이유

원소에 해당하는 비트 중 하나라도 0이면 확실히 없고, 모두 1이면 아마도 있습니다. 블룸 필터는 정확도를 일부 포기하는 대신 매우 적은 메모리를 사용합니다.

답

C · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
5.그래프 이론

답: k = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

14 − 1 = 13

제거할 간선

k = 25 − 13 = 12

답

k = 12
6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

한 걸음 더

(M³)FA = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·0 = 1

답

N = 1

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