자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬이 항상 첫 원소를 피벗으로 사용합니다. 어떤 입력에서 최악의 경우 동작을 보입니까?

  1. A길이가 2인 배열
  2. B무작위 순서의 배열
  3. C이미 정렬된 배열
  4. D원소가 모두 다른 배열
2.알고리즘과 복잡도어려움

해시 테이블의 평균 조회 시간은 O(1)인데 최악의 경우는 O(n)인 이유는 무엇입니까?

  1. A해시 함수가 느리기 때문이다
  2. B많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
  3. C배열 접근이 O(n)이기 때문이다
  4. D키를 먼저 정렬해야 하기 때문이다
3.자료구조보통

키를 정렬된 순서로 삽입하면, n개의 노드를 가진 이진 탐색 트리의 최악의 높이는 얼마입니까?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (연결 리스트처럼 됨)
4.자료구조어려움

AVL 노드가 왼쪽 자식의 오른쪽 서브트리가 너무 높아져 불균형해졌습니다(left-right 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A노드에서 단일 왼쪽 회전
  2. B왼쪽 자식에서 오른쪽 회전 후 노드에서 왼쪽 회전
  3. C왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
  4. D노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 19개이고 간선이 25개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 19|E| = 25
k =
6.그래프 이론어려움
16714410151720ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 9
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 이미 정렬된 배열

이것이 답인 이유

정렬된 입력에서는 피벗이 항상 최솟값이므로 한쪽은 비고 다른 쪽에 n − 1개의 원소가 남아 O(n²)이 됩니다.

답

C · 이미 정렬된 배열
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

좋은 해시 함수와 적재율(load factor)이면 버킷은 평균적으로 짧게 유지됩니다. 악의적인 입력이나 나쁜 해싱은 모든 키를 하나의 버킷에 넣을 수 있습니다.

답

B · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
3.자료구조

답: D · n (연결 리스트처럼 됨)

이것이 답인 이유

정렬된 순서로 삽입하면 높이가 n인 퇴화 트리가 만들어져 탐색이 O(n)이 됩니다. 균형 트리는 이를 방지합니다.

답

D · n (연결 리스트처럼 됨)
4.자료구조

답: C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

첫 번째 회전이 left-right 경우를 left-left 경우로 바꾸고, 그다음 불균형 노드에서의 오른쪽 회전이 이를 고칩니다.

답

C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: k = 7

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

19 − 1 = 18

제거할 간선

k = 25 − 18 = 7

답

k = 7
6.그래프 이론

답: W = 53

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

AB (1): 선택
CE (4): 선택
AC (6): 선택
BC (7): 건너뜀, 사이클이 생김
DE (10): 선택
BD (14): 건너뜀, 사이클이 생김
DF (15): 선택
GD (17): 선택

총 가중치

W = 1 + 4 + 6 + 10 + 15 + 17 = 53

답

W = 53

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