자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

많은 라이브러리 정렬 루틴이 아주 작은 부분 배열에서 삽입 정렬로 전환하는 이유는 무엇입니까?

  1. A삽입 정렬은 최악의 경우 O(n log n)이기 때문에
  2. B삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
  3. C재귀 알고리즘은 원소가 10개 미만인 배열을 처리하지 못하기 때문에
  4. D큰 입력에서 삽입 정렬이 다른 어떤 정렬 알고리즘보다 메모리를 적게 쓰기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

상향식(bottom-up) 방법으로 정렬되지 않은 n개의 원소로 이진 힙을 구성하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.자료구조보통

충돌한 키들을 같은 버킷의 리스트에 저장하는 충돌 해결 방법은 무엇입니까?

  1. A분리 체이닝(Separate chaining)
  2. B선형 탐사(Linear probing)
  3. C이차 탐사(Quadratic probing)
  4. D이중 해싱(Double hashing)
4.자료구조어려움

배열에서 크기 k인 모든 윈도우의 최댓값을 전체 O(n)에 계산할 수 있게 하는 구조는 무엇입니까?

  1. A윈도우마다 다시 만드는 최소 힙
  2. B이동으로 갱신하는 정렬된 배열
  3. C값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
  4. D윈도우 원소들의 단일 연결 리스트
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 2개, 차수가 5인 정점 2개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
1241720285118ABCDEFG

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 BC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 CE
  5. 5간선 DF
  6. 6간선 EF
  7. 7간선 GC
  8. 8간선 GD
  9. 9간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에

이것이 답인 이유

n이 작으면 삽입 정렬의 단순한 루프가 O(n²)이더라도 퀵 정렬이나 병합 정렬의 재귀 오버헤드보다 빠릅니다.

답

B · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n)

이것이 답인 이유

각 레벨의 sift-down 비용을 합하면 수렴하는 급수가 되므로 heapify는 선형 시간에 실행됩니다.

답

A · O(n)
3.자료구조

답: A · 분리 체이닝(Separate chaining)

이것이 답인 이유

체이닝은 버킷마다 연결 리스트(또는 다른 구조)를 유지하고, 개방 주소법은 테이블 안에서 다른 빈 슬롯을 찾습니다.

답

A · 분리 체이닝(Separate chaining)
4.자료구조

답: C · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱

이것이 답인 이유

덱의 앞은 항상 윈도우의 최댓값입니다. 각 인덱스는 덱에 한 번 들어오고 한 번 나가므로 작업량은 선형입니다.

답

C · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
5.그래프 이론

답: L = 16

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

답

L = 16

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: 간선 EF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. GD (1)
2. DF (2)
3. BC (4)
4. GC (5)
5. EF (8)
6. AB (12)

간선 번호 5

EF

답

간선 EF

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