자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 벨만-포드 알고리즘의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.알고리즘과 복잡도어려움

사이클을 만들지 않는 가장 저렴한 간선을 반복적으로 추가하여 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘은 무엇입니까?

  1. A하나의 노드에서 시작하는 Prim 알고리즘
  2. BFloyd–Warshall
  3. CKruskal 알고리즘
  4. DDijkstra 알고리즘
3.자료구조보통

원소가 n개인 배열의 중간에 원소를 삽입하는 비용은 얼마입니까?

  1. A각 원소가 n번 이동하므로 O(n²)
  2. B이진 탐색 때문에 O(log n)
  3. C인덱스를 알고 있으므로 O(1)
  4. D뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
4.자료구조어려움

힙 정렬에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A안정적이며 O(n)의 추가 메모리가 필요하다
  2. B추가 저장소로 이진 탐색 트리가 필요하므로 O(n)의 추가 메모리를 쓴다
  3. C최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
  4. D어떤 입력에서든 O(n) 시간에 실행된다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
39131151418617ABCDEFG

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 BC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 DE
  5. 5간선 DF
  6. 6간선 EF
  7. 7간선 GB
  8. 8간선 GD
  9. 9간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(V × E)

이것이 답인 이유

V − 1번의 각 라운드에서 E개의 간선을 모두 완화하므로 O(VE)이며, 그 대가로 음의 간선 가중치를 처리합니다.

답

B · O(V × E)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · Kruskal 알고리즘

이것이 답인 이유

Kruskal은 간선을 가중치 순으로 정렬하고 서로 다른 컴포넌트를 연결하는 간선을 추가합니다. Prim은 시작 정점에서 하나의 트리를 키워 나갑니다.

답

C · Kruskal 알고리즘
3.자료구조

답: D · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)

이것이 답인 이유

삽입 지점 이후의 모든 원소가 오른쪽으로 한 칸씩 이동하므로 n에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

D · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
4.자료구조

답: C · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다

이것이 답인 이유

힙 정렬은 최대 힙을 만들고 같은 배열 안에서 최댓값을 n번 추출합니다. 먼 거리의 교환이 같은 키의 순서를 바꿀 수 있습니다.

답

C · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

홀수 정점

A, F → 2
오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: 간선 DE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. AB (3)
2. DF (5)
3. GD (6)
4. BC (9)
5. DE (11)
6. BD (13)

간선 번호 5

DE

답

간선 DE

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