자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(n²) 알고리즘이 O(n³)이기도 하다고 말하는 것은 옳습니까?

  1. A아니요, 큰 n에서 n³이 n²보다 작기 때문에
  2. B예, 단 n이 100보다 작을 때만
  3. C아니요, Big O는 함수의 정확한 증가율을 항상 나타내야 하기 때문에
  4. D예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

little-o 표기법에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A2n은 느리게 증가하므로 2n = o(n)
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
  4. D모든 함수는 자기 자신의 little-o이므로 n = o(n)
3.자료구조보통

배열에 저장된 이진 최소 힙(인덱스는 0부터 시작)에서 인덱스 i인 노드의 자식은 어디에 있습니까?

  1. A2i + 1과 2i + 2
  2. Bi + 1과 i + 2
  3. C2i와 2i + 1
  4. Di/2와 i/2 + 1
4.자료구조어려움

블룸 필터는 "이 원소가 집합에 있는가?"라는 질문에 어떻게 답합니까?

  1. A거짓 음성은 있을 수 있지만 거짓 양성은 없다
  2. B항상 정확한 답을 준다
  3. C숫자에 대해서만 답한다
  4. D거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 19개이고 간선이 23개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 19|E| = 23
k =
6.그래프 이론어려움
329141210824ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에

이것이 답인 이유

Big O는 상한이므로 이 진술은 참이지만 정확한 한계는 아닙니다. Θ(n²)이 정확한 증가율을 나타냅니다.

답

D · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다

이것이 답인 이유

f = o(g)는 f(n) / g(n)이 0으로 간다는 뜻입니다. n / n²은 0으로 가지만 n / n = 1은 그렇지 않습니다.

답

C · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
3.자료구조

답: A · 2i + 1과 2i + 2

이것이 답인 이유

0부터 시작하는 배열에서 왼쪽 자식은 2i + 1, 오른쪽 자식은 2i + 2, 부모는 ⌊(i − 1)/2⌋에 있습니다.

답

A · 2i + 1과 2i + 2
4.자료구조

답: D · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다

이것이 답인 이유

원소에 해당하는 비트 중 하나라도 0이면 확실히 없고, 모두 1이면 아마도 있습니다. 블룸 필터는 정확도를 일부 포기하는 대신 매우 적은 메모리를 사용합니다.

답

D · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
5.그래프 이론

답: k = 5

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

19 − 1 = 18

제거할 간선

k = 23 − 18 = 5

답

k = 5
6.그래프 이론

답: G

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 3, C: 2
2. C (2): E: 16, G: 10
3. B (3): D: 12
4. G (10): E: 14
5. D (12)
6. E (14): F: 24
7. F (24)

단계 4

G

답

G

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