자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

플로이드-워셜 알고리즘은 무엇을 얼마나 빠르게 계산합니까?

  1. A최소 신장 트리를 O(E log V)에
  2. B한 출발 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로를 O(V + E)에
  3. C위상 정렬 순서를 O(V²)에
  4. D모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도어려움

22n은 O(2ⁿ)에 속합니까?

  1. A예, 둘 다 지수이기 때문에
  2. B아니요, 22n = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에
  3. C예, 지수의 상수 계수는 Big O에서 항상 무시되기 때문에
  4. D아니요, 22n이 2ⁿ보다 느리게 증가하기 때문에
3.자료구조보통

AVL 트리는 모든 노드에서 어떤 균형 조건을 유지합니까?

  1. A왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다
  2. B모든 노드의 두 서브트리가 정확히 같은 수의 노드를 포함한다
  3. C모든 노드가 빨간색 또는 검은색으로 칠해져 있다
  4. D모든 리프가 정확히 같은 깊이에 있다
4.자료구조어려움

정렬된 연결 리스트와 비교했을 때 스킵 리스트의 주요 장점은 무엇입니까?

  1. A모든 노드가 다른 모든 노드에 대한 포인터를 저장하므로 O(1) 탐색이 보장된다
  2. B추가 메모리를 사용하지 않는다
  3. C여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
  4. D키를 순서 없이 저장한다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 4개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
612355171012ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 5단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에

이것이 답인 이유

플로이드-워셜은 각 정점을 차례로 중간 지점으로 허용하는 동적 계획법 알고리즘으로 O(V³) 시간을 사용합니다.

답

D · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 아니요, 22n = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

이것이 답인 이유

지수에 상수를 더하면 상수배가 되지만, 지수에 상수를 곱하면 밑과 증가율이 바뀝니다.

답

B · 아니요, 22n = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에
3.자료구조

답: A · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다

이것이 답인 이유

균형 인수(왼쪽 높이 − 오른쪽 높이)는 −1, 0, 1 중 하나여야 하며, 삽입과 삭제 후에는 회전으로 이를 회복합니다.

답

A · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다
4.자료구조

답: C · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다

이것이 답인 이유

무작위로 정해지는 레벨 덕분에 탐색 시 많은 노드를 건너뛸 수 있어, 탐색, 삽입, 삭제의 기대 시간이 O(log n)입니다.

답

C · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
5.그래프 이론

답: L = 20

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

답

L = 20

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: F

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): C: 6
2. C (6): B: 18, E: 11
3. E (11): D: 16, G: 23
4. D (16): F: 17
5. F (17)
6. B (18)
7. G (23)

단계 5

F

답

F

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