자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소가 1,000,000개인 정렬된 배열에서 이진 탐색은 최악의 경우 대략 몇 번 비교합니까?

  1. A약 500,000
  2. B약 1,000
  3. C약 100
  4. D약 20
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 문제가 NP-완전(NP-complete)이려면 어떤 조건을 만족해야 합니까?

  1. A다항 시간에 풀 수 있다
  2. B푸는 것이 불가능하다
  3. CNP 밖에 있으면서 정지 문제처럼 모든 NP 문제보다 어렵다
  4. DNP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  2. B루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
  3. C배열의 마지막 원소를 제거한다
  4. D마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조어려움

스플레이 트리는 접근할 때마다 무엇을 합니까?

  1. A접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
  2. B접근한 노드를 리프로 옮긴다
  3. C트리 전체를 균형 잡힌 형태로 다시 만든다
  4. D탐색 경로의 노드 색을 바꾼다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 2개, 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
811105515211123ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 약 20

이것이 답인 이유

220 ≈ 1,048,576이므로 약 20번 절반으로 나누면 원소 하나만 남습니다.

답

D · 약 20
2.알고리즘과 복잡도

답: D · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다

이것이 답인 이유

NP-완전 문제는 NP에서 가장 어려운 문제이며, 그중 하나라도 다항 시간 알고리즘이 있으면 NP 전체에 대한 다항 시간 알고리즘이 존재하게 됩니다.

답

D · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조

답: D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: A · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

이것이 답인 이유

스플레이는 회전을 통해 접근한 노드를 루트로 옮깁니다. 연산 한 번은 O(n)이 들 수 있지만 분할 상환 비용은 O(log n)입니다.

답

A · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
5.그래프 이론

답: L = 16

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

답

L = 16

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 18

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 8, C: 11
B (8): D: 18, G: 19
C (11): E: 16
E (16): F: 18
D (18)
F (18)
G (19)

최단 경로

A → C → E → F
d(F) = 18

답

d(F) = 18

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