자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

플로이드-워셜 알고리즘은 무엇을 얼마나 빠르게 계산합니까?

  1. A위상 정렬 순서를 O(V²)에
  2. B모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
  3. C한 출발 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로를 O(V + E)에
  4. D최소 신장 트리를 O(E log V)에
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 문제가 NP-완전(NP-complete)이려면 어떤 조건을 만족해야 합니까?

  1. A다항 시간에 풀 수 있다
  2. BNP 밖에 있으면서 정지 문제처럼 모든 NP 문제보다 어렵다
  3. C푸는 것이 불가능하다
  4. DNP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조보통

알파벳이 고정된 트라이(trie)에서 길이 L인 단어를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

  1. An이 단어 수일 때 O(log n)
  2. B저장된 단어 수와 관계없이 O(L)
  3. Cn이 단어 수일 때 O(n)
  4. DO(L × n)
4.자료구조어려움

레드-블랙 트리가 반드시 만족해야 하는 성질은 무엇입니까?

  1. A모든 노드는 빨간색이어야 한다
  2. B한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
  3. C루트는 빨간색이어야 한다
  4. D모든 빨간 노드의 자식은 빨간색이어야 하므로 빨간 노드가 리프까지 끊기지 않는 사슬을 이룬다
5.그래프 이론보통
ABCDEFG오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
146381214151139510ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에

이것이 답인 이유

플로이드-워셜은 각 정점을 차례로 중간 지점으로 허용하는 동적 계획법 알고리즘으로 O(V³) 시간을 사용합니다.

답

B · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도

답: D · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다

이것이 답인 이유

NP-완전 문제는 NP에서 가장 어려운 문제이며, 그중 하나라도 다항 시간 알고리즘이 있으면 NP 전체에 대한 다항 시간 알고리즘이 존재하게 됩니다.

답

D · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조

답: B · 저장된 단어 수와 관계없이 O(L)

이것이 답인 이유

각 문자가 자식 하나를 선택하므로, 트라이에 단어가 얼마나 있든 조회는 L 단계가 걸립니다.

답

B · 저장된 단어 수와 관계없이 O(L)
4.자료구조

답: B · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다

이것이 답인 이유

레드-블랙 규칙: 노드는 빨간색 또는 검은색이고, 루트는 검은색이며, 빨간 노드의 자식은 검은색이고, 모든 경로의 블랙 높이가 같습니다. 이로써 높이가 ≤ 2 log₂(n + 1)로 유지됩니다.

답

B · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

홀수 정점

C, D, E, G → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(F) = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 14, C: 6
C (6): B: 9, E: 18, G: 15
B (9): D: 17, G: 12
G (12)
D (17): F: 32
E (18): F: 29
F (29)

최단 경로

A → C → E → F
d(F) = 29

답

d(F) = 29

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