자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
  2. B시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  3. C모든 그래프에서의 위상 순서
  4. D최소 신장 트리
2.알고리즘과 복잡도어려움

마지막 두 값만 유지하는 루프로 n번째 피보나치 수를 계산할 때 시간과 공간 비용은 얼마입니까?

  1. AO(log n) 시간과 O(n) 공간
  2. BO(n) 시간과 O(1) 공간
  3. CO(n) 시간과 O(n) 공간
  4. DO(2ⁿ) 시간과 O(1) 공간
3.자료구조보통

이진 탐색 트리의 한 노드에 오른쪽 서브트리가 있습니다. 그 노드의 중위 후속자(in-order successor)는 어디에 있습니까?

  1. A항상 오른쪽 자식
  2. B오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
  3. C항상 부모
  4. D왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드
4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. AO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
  2. BO(n)
  3. C정확히 O(log n)
  4. DO(n²)
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 3의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n) 시간과 O(1) 공간

이것이 답인 이유

각 단계에는 이전 두 값만 필요하므로 상향식 방법의 표를 변수 두 개로 바꿀 수 있습니다.

답

B · O(n) 시간과 O(1) 공간
3.자료구조

답: B · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드

이것이 답인 이유

노드보다 크면서 가까운 키는 모두 오른쪽 서브트리에 있고, 그중 가장 작은 것은 그곳의 가장 왼쪽 노드입니다.

답

B · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
4.자료구조

답: A · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

A · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: N = 4

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

한 걸음 더

(M³)EE = 1·0 + 2·1 + 1·1 + 1·1 + 3·0 = 4

답

N = 4

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