자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동적 프로그래밍(dynamic programming)은 문제가 무엇을 가질 때 유용합니까?

  1. A부분 문제가 전혀 없어 한 단계로 풀 수 있음
  2. B루프가 하나뿐임
  3. C무작위 입력만 있음
  4. D중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
2.알고리즘과 복잡도어려움

큰 n에서 n!과 2ⁿ은 어떻게 비교됩니까?

  1. An!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
  2. Bn!은 O(n²)이다
  3. C2ⁿ이 n!보다 빠르게 증가한다
  4. D같은 비율로 증가한다
3.자료구조보통

다익스트라 알고리즘은 다음에 처리할 정점을 고르는 데 어떤 추상 자료형을 사용합니까?

  1. A순서가 없는 집합
  2. BFIFO 큐
  3. C스택
  4. D최소 우선순위 큐
4.자료구조어려움

랭크에 의한 합집합(union by rank)이나 경로 압축 없이, 원소가 n개인 union-find 구조에서 find 한 번의 최악의 경우 비용은 얼마입니까?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 6개이고 간선이 9개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 6|E| = 9
k =
6.그래프 이론어려움
1119418278ABCDE

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조

이것이 답인 이유

중복되는 부분 문제의 결과를 저장(메모이제이션 또는 타뷸레이션)하면 반복 작업을 피할 수 있어 지수 시간 알고리즘이 다항 시간 알고리즘으로 바뀝니다.

답

D · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
2.알고리즘과 복잡도

답: A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다

이것이 답인 이유

n ≥ 4에서 n!은 2ⁿ을 넘고, n!의 추가 인수가 각각 2보다 크므로 그 비는 한없이 커집니다.

답

A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
3.자료구조

답: D · 최소 우선순위 큐

이것이 답인 이유

보통 이진 힙으로 구현하는 최소 우선순위 큐는 거리가 가장 작은 미방문 정점을 효율적으로 반환합니다.

답

D · 최소 우선순위 큐
4.자료구조

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

단순한 합집합은 트리를 긴 사슬로 연결할 수 있으므로 find가 부모 포인터 n − 1개를 따라가야 할 수 있습니다. 두 휴리스틱을 쓰면 거의 상수에 가까워집니다.

답

B · O(n)
5.그래프 이론

답: k = 4

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

6 − 1 = 5

제거할 간선

k = 9 − 5 = 4

답

k = 4
6.그래프 이론

답: W = 24

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

CE (2): 선택
BC (4): 선택
DE (7): 선택
BE (8): 건너뜀, 사이클이 생김
AB (11): 선택

총 가중치

W = 2 + 4 + 7 + 11 = 24

답

W = 24

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