자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(n²) 알고리즘이 O(n³)이기도 하다고 말하는 것은 옳습니까?

  1. A아니요, 큰 n에서 n³이 n²보다 작기 때문에
  2. B예, 단 n이 100보다 작을 때만
  3. C아니요, Big O는 함수의 정확한 증가율을 항상 나타내야 하기 때문에
  4. D예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

little-o 표기법에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. An = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
  2. B모든 함수는 자기 자신의 little-o이므로 n = o(n)
  3. C2n은 느리게 증가하므로 2n = o(n)
  4. Dn² = o(n)
3.자료구조보통

도로망에 교차로가 100,000개 있고, 각 교차로는 다른 교차로 약 4개와 연결됩니다. 가장 적합한 표현은 무엇입니까?

  1. A간선들의 이진 힙
  2. B정점들의 정렬된 배열 하나
  3. C인접 행렬
  4. D인접 리스트
4.자료구조어려움

힙 정렬에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A어떤 입력에서든 O(n) 시간에 실행된다
  2. B최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
  3. C추가 저장소로 이진 탐색 트리가 필요하므로 O(n)의 추가 메모리를 쓴다
  4. D안정적이며 O(n)의 추가 메모리가 필요하다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
184141920161217111ABCDEFG

프림 알고리즘이 정점 F에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 2번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Fk = 2
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 DE
  5. 5간선 DF
  6. 6간선 EF
  7. 7간선 GB
  8. 8간선 GC
  9. 9간선 GD
  10. 10간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에

이것이 답인 이유

Big O는 상한이므로 이 진술은 참이지만 정확한 한계는 아닙니다. Θ(n²)이 정확한 증가율을 나타냅니다.

답

D · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: A · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다

이것이 답인 이유

f = o(g)는 f(n) / g(n)이 0으로 간다는 뜻입니다. n / n²은 0으로 가지만 n / n = 1은 그렇지 않습니다.

답

A · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
3.자료구조

답: D · 인접 리스트

이것이 답인 이유

행렬은 1010개의 칸이 필요하고 거의 모두 비어 있을 것입니다. 인접 리스트는 약 400,000개의 간선 항목만 저장합니다.

답

D · 인접 리스트
4.자료구조

답: B · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다

이것이 답인 이유

힙 정렬은 최대 힙을 만들고 같은 배열 안에서 최댓값을 n번 추출합니다. 먼 거리의 교환이 같은 키의 순서를 바꿀 수 있습니다.

답

B · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: 간선 GE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. EF (16)
2. GE (11)
3. GD (1)
4. GB (12)
5. GC (17)
6. AC (4)

간선 번호 2

GE

답

간선 GE

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