자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동적 계획법이 병합 정렬에 실질적인 속도 향상을 주지 못하는 이유는 무엇입니까?

  1. A동적 계획법은 배열이 아니라 그래프 문제에서만 동작하기 때문에
  2. B부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에
  3. C병합 정렬은 이미 O(n)이기 때문에
  4. D병합 정렬에는 재귀 구조가 없기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

큰 n에서 n!과 2ⁿ은 어떻게 비교됩니까?

  1. An!은 O(n²)이다
  2. B2ⁿ이 n!보다 빠르게 증가한다
  3. Cn!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
  4. D같은 비율로 증가한다
3.자료구조보통

무방향 그래프의 인접 행렬에 대해 참인 것은 무엇입니까?

  1. A항상 상삼각 행렬이다
  2. B주대각선에는 항상 1이 들어 있다
  3. C주대각선에 대해 대칭이다
  4. D각 행에 1이 정확히 하나 있다
4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

  1. A버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
  2. B원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
  3. Cfront와 rear를 같은 변수에 저장한다
  4. Dfront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

C에서 B까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에

이것이 답인 이유

병합 정렬의 두 절반은 서로소이고 각각 한 번만 풀립니다. DP는 피보나치처럼 부분 문제가 반복될 때만 도움이 됩니다.

답

B · 부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다

이것이 답인 이유

n ≥ 4에서 n!은 2ⁿ을 넘고, n!의 추가 인수가 각각 2보다 크므로 그 비는 한없이 커집니다.

답

C · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
3.자료구조

답: C · 주대각선에 대해 대칭이다

이것이 답인 이유

무방향 그래프에서 간선 {u, v}는 M[u][v]와 M[v][u]가 모두 설정된다는 뜻이므로, 행렬은 그 전치 행렬과 같습니다.

답

C · 주대각선에 대해 대칭이다
4.자료구조

답: B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
5.그래프 이론

답: L = 14

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

답

L = 14

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)CB = 1·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1

답

N = 1

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