자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

문제가 최적 부분 구조를 가진다는 것은 무엇을 의미합니까?

A모든 부분 문제의 크기가 같다
B문제를 상수 시간에 풀 수 있다
C최적해를 부분 문제들의 최적해로부터 만들 수 있다
D문제의 최적해가 정확히 하나이며 모든 부분 문제가 그것을 공유한다

2.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

A정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
B음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
C우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
D무방향 그래프에서만 동작하기 때문에

3.자료구조보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 인접 리스트는 메모리를 얼마나 사용합니까?

AO(V × E)
BO(V + E)
CO(E²)
DO(V²)

4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

Afront와 rear를 같은 변수에 저장한다
B원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
C버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
Dfront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 17개이고 간선이 26개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 17|E| = 26

k =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 최적해를 부분 문제들의 최적해로부터 만들 수 있다

이것이 답인 이유

탐욕 알고리즘과 동적 계획법이 모두 올바른 답을 내려면 최적 부분 구조가 필요합니다.

답

C · 최적해를 부분 문제들의 최적해로부터 만들 수 있다

2.알고리즘과 복잡도

답: A · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

이것이 답인 이유

탐욕적 단계는 추출된 거리가 확정되도록 음이 아닌 가중치에 의존합니다. 가중치가 음수일 수 있으면 벨만-포드를 사용합니다.

답

A · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

3.자료구조

답: B · O(V + E)

이것이 답인 이유

각 정점에 리스트가 있고 각 간선은 한 번(방향 그래프) 또는 두 번(무방향 그래프) 나타나므로 O(V + E)입니다.

답

B · O(V + E)

4.자료구조

답: B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

B · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

5.그래프 이론

답: k = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

17 − 1 = 16

제거할 간선

k = 26 − 16 = 10

답

k = 10

6.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 13

2. B (13): C: 19, D: 14, E: 21

3. D (14): F: 29

4. C (19)

5. E (21): F: 27

6. F (27)

단계 3

답

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