자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

밑이 k이고 자릿수가 d인 정수 n개에 대한 LSD 기수 정렬의 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.알고리즘과 복잡도어려움

상향식(bottom-up) 방법으로 정렬되지 않은 n개의 원소로 이진 힙을 구성하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
3.자료구조보통

"{[()]}"의 괄호가 균형을 이루는지 확인하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A해시 테이블
  2. B이진 탐색 트리
  3. C스택
  4. D큐
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. A임의 위치에 원소 삽입
  2. BO(1)에 중앙값 찾기
  3. C접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
  4. D배열 정렬과 이진 탐색
5.그래프 이론보통

완전그래프 K7의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K7
H =
6.그래프 이론어려움
122017131141910ABCDEF

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 5
  1. 1간선 AC
  2. 2간선 BC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 CE
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(d(n + k))

이것이 답인 이유

d번의 각 패스는 O(n + k)가 드는 계수 정렬이므로, d와 k가 고정되면 전체는 n에 대해 선형입니다.

답

A · O(d(n + k))
2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n)

이것이 답인 이유

각 레벨의 sift-down 비용을 합하면 수렴하는 급수가 되므로 heapify는 선형 시간에 실행됩니다.

답

A · O(n)
3.자료구조

답: C · 스택

이것이 답인 이유

여는 괄호마다 push하고 닫는 괄호가 나오면 pop합니다. 닫는 괄호는 pop한 괄호와 짝이 맞아야 하고, 끝에서 스택은 비어 있어야 합니다.

답

C · 스택
4.자료구조

답: C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: H = 360

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360
6.그래프 이론

답: 간선 CE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. DF (4)
2. BE (10)
3. DE (11)
4. AC (12)
5. CE (13)

간선 번호 5

CE

답

간선 CE

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