자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

상향식 표로 n번째 피보나치 수를 계산하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

little-o 표기법에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. An = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
  2. B2n은 느리게 증가하므로 2n = o(n)
  3. C모든 함수는 자기 자신의 little-o이므로 n = o(n)
  4. Dn² = o(n)
3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

  1. A모든 리프를 방문하여 비교한다
  2. B루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
  3. C루트만 본다
  4. D루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
4.자료구조어려움

AVL 노드가 왼쪽 자식의 오른쪽 서브트리가 너무 높아져 불균형해졌습니다(left-right 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A왼쪽 자식에서 오른쪽 회전 후 노드에서 왼쪽 회전
  2. B노드에서 단일 왼쪽 회전
  3. C왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
  4. D노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
4321342414ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

0부터 n까지 표를 채우는 데 항목당 덧셈 한 번이 필요하므로 작업량은 지수가 아니라 선형입니다.

답

D · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다

이것이 답인 이유

f = o(g)는 f(n) / g(n)이 0으로 간다는 뜻입니다. n / n²은 0으로 가지만 n / n = 1은 그렇지 않습니다.

답

A · n = o(n²)이지만 n은 o(n)이 아니다
3.자료구조

답: B · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

B · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
4.자료구조

답: C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

첫 번째 회전이 left-right 경우를 left-left 경우로 바꾸고, 그다음 불균형 노드에서의 오른쪽 회전이 이를 고칩니다.

답

C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: L = 13

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 33 = 2(L + 11) − 2
L = 13

답

L = 13

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: B

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 4, C: 3
2. C (3): E: 7
3. B (4): D: 17
4. E (7): F: 11
5. F (11): D: 13
6. D (13)

단계 3

B

답

B

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