자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
  2. B모든 그래프에서의 위상 순서
  3. C시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  4. D최소 신장 트리
2.알고리즘과 복잡도어려움

log(n!)에 대한 올바른 한계는 무엇입니까?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

  1. A루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
  2. B루트만 본다
  3. C모든 리프를 방문하여 비교한다
  4. D루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
4.자료구조어려움

해시 테이블이 올바르게 동작하려면 해시와 동등성이 어떤 규칙을 따라야 합니까?

  1. A같은 키는 같은 해시 값을 가져야 한다
  2. B해시 값이 같으면 키가 같다
  3. C해시 값은 소수여야 한다
  4. D다른 키는 다른 해시 값을 가져야 한다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 3
L =
6.그래프 이론어려움
4141211245691512ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

C · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(n log n)

이것이 답인 이유

log(n!) ≤ n log n이고, 가장 큰 n / 2개의 인수로부터 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)입니다. 이 때문에 비교 정렬에는 Ω(n log n)이 필요합니다.

답

B · Θ(n log n)
3.자료구조

답: D · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

D · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
4.자료구조

답: A · 같은 키는 같은 해시 값을 가져야 한다

이것이 답인 이유

같은 두 키가 다르게 해시되면 서로 다른 버킷에 저장되어 조회가 실패할 것입니다. 다른 키는 여전히 해시를 공유할 수 있습니다.

답

A · 같은 키는 같은 해시 값을 가져야 한다
5.그래프 이론

답: L = 5

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

답

L = 5

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: C

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 4, C: 14
2. B (4): D: 15
3. C (14): E: 16, G: 23
4. D (15): F: 20
5. E (16)
6. F (20)
7. G (23)

단계 3

C

답

C

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