자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동적 프로그래밍(dynamic programming)은 문제가 무엇을 가질 때 유용합니까?

  1. A중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
  2. B무작위 입력만 있음
  3. C부분 문제가 전혀 없어 한 단계로 풀 수 있음
  4. D루프가 하나뿐임
2.알고리즘과 복잡도어려움

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 이진 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.자료구조보통

인접 행렬로 간선 (u, v)가 존재하는지 확인하는 데 얼마나 걸립니까?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.자료구조어려움

어떤 객체를 해시 맵의 키로 저장한 뒤, 그 해시 함수가 사용하는 필드를 바꿉니다. 예상되는 결과는 무엇입니까?

  1. A맵이 자동으로 키를 새 버킷으로 옮긴다
  2. B객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다
  3. C키의 해시는 프로그램이 시작될 때 한 번만 계산되므로 아무것도 바뀌지 않는다
  4. D필드가 바뀌는 순간 맵이 오류를 던진다
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

B에서 C까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조

이것이 답인 이유

중복되는 부분 문제의 결과를 저장(메모이제이션 또는 타뷸레이션)하면 반복 작업을 피할 수 있어 지수 시간 알고리즘이 다항 시간 알고리즘으로 바뀝니다.

답

A · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
2.알고리즘과 복잡도

답: C · O((V + E) log V)

이것이 답인 이유

V번의 extract-min과 최대 E번의 decrease-key 연산이 있고 각각 O(log V)입니다. 피보나치 힙을 쓰면 O(E + V log V)로 개선됩니다.

답

C · O((V + E) log V)
3.자료구조

답: A · O(1)

이것이 답인 이유

행 u, 열 v의 행렬 항목이 간선의 존재 여부를 즉시 알려 줍니다. 인접 리스트는 u의 이웃을 훑어야 할 수도 있습니다.

답

A · O(1)
4.자료구조

답: B · 객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다

이것이 답인 이유

키의 위치는 이전 해시로 정해졌습니다. 새 해시로는 조회가 잘못된 버킷을 찾으므로 키는 불변이어야 합니다.

답

B · 객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: N = 6

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

한 걸음 더

(M³)BC = 0·0 + 4·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 2·0 = 6

답

N = 6

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