자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

탐욕 알고리즘(greedy algorithm)은 무엇을 합니까?

  1. A재귀만 사용합니다
  2. B항상 최적해를 제공합니다
  3. C가능한 모든 해를 시도합니다
  4. D각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
2.알고리즘과 복잡도어려움

위상 정렬은 어떤 그래프에서만 가능합니까?

  1. A완전 그래프
  2. B음의 가중치를 가진 그래프
  3. C방향성 비순환 그래프(DAG)
  4. D무방향 그래프
3.자료구조보통

이진 힙을 포인터 없이 배열에 저장할 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A배열이 키를 자동으로 정렬된 순서로 유지하므로 포인터가 필요 없기 때문에
  2. B완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
  3. C힙에는 원소가 100개를 넘지 않기 때문에
  4. D힙의 모든 키가 같기 때문에
4.자료구조어려움

O(1)의 추가 메모리로 단일 연결 리스트에 사이클이 있는지 어떻게 탐지할 수 있습니까?

  1. A리스트를 정렬하고 중복을 찾는다
  2. B방문한 모든 노드를 해시 집합에 저장한다
  3. C개수가 리스트 길이 필드를 넘을 때까지 노드를 센다
  4. D포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
9313618194120ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 9
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다

이것이 답인 이유

탐욕 알고리즘은 빠르며 일부 문제(예: Dijkstra, Huffman 코딩)에서는 최적이지만 일반적으로는 그렇지 않습니다(예: 특정 동전 체계에서의 거스름돈 문제).

답

D · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 방향성 비순환 그래프(DAG)

이것이 답인 이유

위상 순서는 방향 그래프에 사이클이 없을 때에만 존재하며, DFS나 Kahn 알고리즘으로 O(V + E)에 찾을 수 있습니다.

답

C · 방향성 비순환 그래프(DAG)
3.자료구조

답: B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에

이것이 답인 이유

완전 트리이므로 빈틈이 없어, 인덱스 i의 자식은 항상 2i + 1과 2i + 2에 있습니다.

답

B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
4.자료구조

답: D · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다

이것이 답인 이유

플로이드 알고리즘에서는 사이클이 있으면 빠른 포인터가 결국 느린 포인터를 따라잡고, 그렇지 않으면 빠른 포인터가 null에 도달합니다.

답

D · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
5.그래프 이론

답: L = 16

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 28 = 2(L + 7) − 2
L = 16

답

L = 16

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: W = 51

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

GD (1): 선택
AC (3): 선택
GC (4): 선택
BD (6): 선택
AB (9): 건너뜀, 사이클이 생김
BC (13): 건너뜀, 사이클이 생김
DE (18): 선택
EF (19): 선택

총 가중치

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 18 + 19 = 51

답

W = 51

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