자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열을 한 번 정렬한 뒤 이진 탐색으로 k개의 소속 질의에 답합니다. 전체 비용은 얼마입니까?

  1. AO(n + k)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(nk)
2.알고리즘과 복잡도어려움

삽입 정렬은 정렬된 입력에서 O(n)에 실행됩니다. 이것은 비교 정렬의 Ω(n log n) 하한과 모순됩니까?

  1. A아니요, 삽입 정렬은 비교 정렬이 아니기 때문에
  2. B예, 단 길이가 100보다 짧은 배열에서만
  3. C예, 따라서 하한이 틀렸다
  4. D아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다
3.자료구조보통

실행 중인 프로그램이 활성 함수 호출과 그 지역 변수를 추적하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A프레임들의 이진 탐색 트리
  2. B호출 스택(call stack)
  3. C함수들의 해시 테이블
  4. D힙 메모리 큐
4.자료구조어려움

세그먼트 트리는 일반적으로 무엇에 사용됩니까?

  1. A구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
  2. B그래프의 간선을 저장하는 데
  3. C스택을 구현하는 데
  4. D각 접두사를 별도의 트리 노드에 저장하여 문자열을 알파벳순으로 정렬하는 데
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
1815129111651316ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 10
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n log n + k log n)

이것이 답인 이유

정렬에 O(n log n), 질의마다 O(log n)이 듭니다. k가 크면 k번의 선형 탐색(O(nk))보다 낫습니다.

답

C · O(n log n + k log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다

이것이 답인 이유

하한은 모든 비교 정렬이 크기 n인 어떤 입력에서 약 n log n번의 비교가 필요하다는 것입니다. 특별한 입력은 훨씬 빠를 수 있습니다.

답

D · 아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다
3.자료구조

답: B · 호출 스택(call stack)

이것이 답인 이유

각 호출은 스택 프레임을 push하고 각 반환은 그것을 pop하므로, 가장 최근의 호출이 먼저 끝납니다.

답

B · 호출 스택(call stack)
4.자료구조

답: A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데

이것이 답인 이유

세그먼트 트리는 구간별 집계 값을 저장하여 구간 질의와 단일 지점 갱신을 O(log n) 시간에 지원합니다.

답

A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

홀수 정점

D, E → 2
오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: W = 48

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

GD (1): 선택
EF (5): 선택
GE (6): 선택
CE (9): 선택
DE (11): 건너뜀, 사이클이 생김
BC (12): 선택
GB (13): 건너뜀, 사이클이 생김
AC (15): 선택

총 가중치

W = 1 + 5 + 6 + 9 + 12 + 15 = 48

답

W = 48

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