자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

A시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
B최소 신장 트리
C모든 그래프에서의 위상 순서
D음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로

2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
B루프는 피해야 한다
C모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
D모든 프로그램은 결국 정지한다

3.자료구조보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 인접 리스트는 메모리를 얼마나 사용합니까?

AO(V + E)
BO(E²)
CO(V²)
DO(V × E)

4.자료구조어려움

레드-블랙 트리 규칙은 키가 n개인 트리의 높이에 대해 무엇을 보장합니까?

A높이는 최대 n / 2이다
B높이는 최대 log₂ n + 1이다
C높이는 정확히 log₂ n이다
D높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5

L =

6.그래프 이론어려움

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

A · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

C · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

3.자료구조

답: A · O(V + E)

이것이 답인 이유

각 정점에 리스트가 있고 각 간선은 한 번(방향 그래프) 또는 두 번(무방향 그래프) 나타나므로 O(V + E)입니다.

답

A · O(V + E)

4.자료구조

답: D · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

이것이 답인 이유

모든 경로에 검은 노드 수가 같고 빨간 노드는 이웃할 수 없으므로 가장 긴 경로는 가장 짧은 경로의 최대 두 배이며, 높이는 O(log n)이 됩니다.

답

D · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

5.그래프 이론

답: L = 26

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 48 = 2(L + 12) − 2

L = 26

답

L = 26

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)_EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

답

N = 3

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