자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

표준 삼중 루프로 두 n × n 행렬을 곱하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n)
BO(n³)
CO(n²)
DO(n² log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

한 번 증가할 때 많은 비트가 뒤집힐 수 있다는 점을 고려할 때, 이진 카운터 증가의 분할 상환 비용은 얼마입니까?

A증가당 O(n)
B증가당 O(n log n)
C증가당 O(log n)
D증가당 O(1)

3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

A루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
B마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
C모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
D배열의 마지막 원소를 제거한다

4.자료구조어려움

단순 균등 해싱 가정에서, 키가 n개이고 버킷이 m개인 체이닝 해시 테이블의 탐색 기대 시간은 얼마입니까?

AO(log n)
Bα = n / m일 때 O(1 + α)
CO(m)
DO(n)

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 10개이고 간선이 13개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 10|E| = 13

k =

6.그래프 이론어려움

프림 알고리즘이 정점 E에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ek = 5

1간선 AC
2간선 BC
3간선 BD
4간선 CE
5간선 DE
6간선 EF
7간선 GB
8간선 GC
9간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n³)

이것이 답인 이유

항목이 n²개이고 각각 n번의 곱셈이 필요하므로 n³번의 연산이 됩니다.

답

B · O(n³)

2.알고리즘과 복잡도

답: D · 증가당 O(1)

이것이 답인 이유

n번 증가하는 동안 비트 i는 약 n / 2ⁱ번 뒤집히므로 전체는 2n번 미만이고, 평균은 각각 O(1)입니다.

답

D · 증가당 O(1)

3.자료구조

답: B · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

B · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

4.자료구조

답: B · α = n / m일 때 O(1 + α)

이것이 답인 이유

해시 계산은 O(1)이고 기대 체인 길이는 α이므로, 크기 조정으로 α를 한정하면 기대 시간이 O(1)이 됩니다.

답

B · α = n / m일 때 O(1 + α)

5.그래프 이론

답: k = 4

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

10 − 1 = 9

제거할 간선

k = 13 − 9 = 4

답

k = 4

6.그래프 이론

답: 간선 AC

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. GE (5)

2. GC (2)

3. GB (6)

4. BD (10)

5. AC (15)

6. EF (20)

간선 번호 5

답

간선 AC

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