자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(n)의 해는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

  1. A모든 프로그램은 결국 정지한다
  2. B모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
  3. C일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
  4. D루프는 피해야 한다
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
  2. B배열의 마지막 원소를 제거한다
  3. C모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  4. D루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
4.자료구조어려움

어떤 객체를 해시 맵의 키로 저장한 뒤, 그 해시 함수가 사용하는 필드를 바꿉니다. 예상되는 결과는 무엇입니까?

  1. A맵이 자동으로 키를 새 버킷으로 옮긴다
  2. B객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다
  3. C필드가 바뀌는 순간 맵이 오류를 던진다
  4. D키의 해시는 프로그램이 시작될 때 한 번만 계산되므로 아무것도 바뀌지 않는다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
43168152209116ABCDEFG

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 GB
  9. 9간선 GD
  10. 10간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n²)

이것이 답인 이유

작업량의 합은 약 n² / 2이며, 이는 선택 정렬이나 최악의 피벗을 고른 퀵 정렬의 점화식입니다.

답

B · O(n²)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

B · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
3.자료구조

답: A · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

A · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: B · 객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다

이것이 답인 이유

키의 위치는 이전 해시로 정해졌습니다. 새 해시로는 조회가 잘못된 버킷을 찾으므로 키는 불변이어야 합니다.

답

B · 객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: 간선 GE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. DF (2)
2. AC (3)
3. AB (4)
4. GE (6)
5. BD (8)
6. GB (9)

간선 번호 4

GE

답

간선 GE

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