자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

활동 선택 문제에서 겹치지 않는 활동의 수를 항상 최대로 만드는 탐욕적 규칙은 무엇입니까?

  1. A겹침이 가장 적은 활동을 먼저 고른 뒤, 호환되는 활동들로 반복한다
  2. B가장 짧은 활동을 먼저 고른다
  3. C가장 일찍 시작하는 활동을 고른다
  4. D가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

  1. AW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
  2. B알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
  3. CW = 0일 때만 작동하기 때문이다
  4. Dn이 항상 작기 때문이다
3.자료구조보통

AVL 트리와 레드-블랙 트리가 보장하는 것은 무엇입니까?

  1. A모든 경우의 상수 시간 탐색
  2. B자식이 두 개인 노드가 없음
  3. C재균형을 통한 O(log n) 높이
  4. D키가 삽입 순서대로 저장됨
4.자료구조어려움

get과 put이 O(1)인 LRU(least recently used) 캐시를 지원하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A이진 탐색 트리만
  2. B스택만
  3. C해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합
  4. D하나의 정렬된 배열
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 19개이고 간선이 24개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 19|E| = 24
k =
6.그래프 이론어려움
652317107ABCDE

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다

이것이 답인 이유

가장 이른 종료 시간을 고르는 것은 교환 논증으로 최적임을 증명할 수 있습니다. 다른 규칙에는 반례가 있습니다.

답

D · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도

답: A · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

A · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
3.자료구조

답: C · 재균형을 통한 O(log n) 높이

이것이 답인 이유

자가 균형 트리는 높이를 로그 수준으로 유지하므로 탐색, 삽입, 삭제가 최악의 경우에도 O(log n)입니다.

답

C · 재균형을 통한 O(log n) 높이
4.자료구조

답: C · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합

이것이 답인 이유

해시 맵은 노드를 O(1)에 찾고, 이중 연결 리스트는 접근한 원소를 앞으로 옮기고 뒤에서 제거하는 작업을 O(1)에 수행합니다.

답

C · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합
5.그래프 이론

답: k = 6

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

19 − 1 = 18

제거할 간선

k = 24 − 18 = 6

답

k = 6
6.그래프 이론

답: W = 17

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BC (2): 선택
BD (3): 선택
AC (5): 선택
AB (6): 건너뜀, 사이클이 생김
BE (7): 선택

총 가중치

W = 2 + 3 + 5 + 7 = 17

답

W = 17

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