자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소가 1,000,000개인 정렬된 배열에서 이진 탐색은 최악의 경우 대략 몇 번 비교합니까?

A약 100
B약 1,000
C약 20
D약 500,000

2.알고리즘과 복잡도어려움

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(n √n)
CO(n²)
DO(n)

3.자료구조보통

적재율이 임계값을 넘은 뒤 해시 테이블이 재해싱(rehash)하면 무슨 일이 일어납니까?

A기존 키를 제자리에서 정렬한다
B충돌한 키만 테이블 끝의 새 오버플로 리스트로 옮긴다
C더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다
D자리를 만들기 위해 가장 오래된 키를 삭제한다

4.자료구조어려움

레드-블랙 트리 규칙은 키가 n개인 트리의 높이에 대해 무엇을 보장합니까?

A높이는 최대 n / 2이다
B높이는 정확히 log₂ n이다
C높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다
D높이는 최대 log₂ n + 1이다

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 5인 정점 2개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 32 × deg 54 × deg 2

L =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 D까지의 최단 경로의 길이 d(D)을(를) 구하시오.

시작: A끝: D

d(D) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 약 20

이것이 답인 이유

2²⁰ ≈ 1,048,576이므로 약 20번 절반으로 나누면 원소 하나만 남습니다.

답

C · 약 20

2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n)

이것이 답인 이유

합은 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × H_n이고, 조화수 H_n은 Θ(log n)입니다.

답

A · O(n log n)

3.자료구조

답: C · 더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다

이것이 답인 이유

인덱스는 테이블 크기로 나눈 나머지로 계산되므로 모든 키를 새로운 더 큰 테이블로 다시 해시해야 합니다. 크기를 두 배로 늘리면 이는 분할 상환 O(1)로 유지됩니다.

답

C · 더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다

4.자료구조

답: C · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

이것이 답인 이유

모든 경로에 검은 노드 수가 같고 빨간 노드는 이웃할 수 없으므로 가장 긴 경로는 가장 짧은 경로의 최대 두 배이며, 높이는 O(log n)이 됩니다.

답

C · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

5.그래프 이론

답: L = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 30 = 2(L + 10) − 2

L = 12

답

L = 12

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(D) = 16

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 9, C: 9

B (9): D: 16, G: 20

C (9): E: 17

D (16): F: 24

E (17)

G (20)

F (24)

최단 경로

A → B → D

d(D) = 16

답

d(D) = 16

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