자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n − 1) + O(1)의 해는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

  1. A항상 첫 번째 원소를 선택하기
  2. B피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
  3. C퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
  4. D왼쪽에만 재귀를 사용하기
3.자료구조보통

이진 힙에 새 원소는 어떻게 삽입됩니까?

  1. A힙 전체를 처음부터 다시 만든다
  2. B배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)
  3. C더 큰 원소들을 모두 오른쪽으로 한 칸씩 밀어 정렬된 위치에 삽입한다
  4. D루트에 놓고 아래로 내린다(sift down)
4.자료구조어려움

AVL 트리에 키를 삽입했더니 어떤 노드의 왼쪽 서브트리가 너무 높아졌고, 새 키는 그 왼쪽 자식의 왼쪽 서브트리에 들어갔습니다(left-left 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
  2. B노드와 그 자식의 색 바꾸기
  3. C자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
  4. D불균형 노드에서 단일 왼쪽 회전
5.그래프 이론보통

완전그래프 K4의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K4
H =
6.그래프 이론어려움
1948171391510ABCDEF

프림 알고리즘이 정점 A에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ak = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(2ⁿ)

이것이 답인 이유

호출 수가 단계마다 두 배가 되고 단계가 n개이므로, 하노이의 탑처럼 합계는 약 2ⁿ입니다.

답

B · O(2ⁿ)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 사용하면 모든 입력에 대해 기대 실행 시간이 O(n log n)입니다. 나쁜 경우는 여전히 존재하지만 발생할 가능성은 매우 낮습니다.

답

B · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조

답: B · 배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)

이것이 답인 이유

끝에 추가하면 트리가 완전 트리로 유지되고, 부모와 교환하면 O(log n) 단계로 순서가 회복됩니다.

답

B · 배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)
4.자료구조

답: A · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

Left-left 경우에는 오른쪽 회전 한 번이 왼쪽 자식을 위로 올려 균형을 회복합니다. 지그재그 경우에는 이중 회전이 필요합니다.

답

A · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: H = 3

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

답

H = 3
6.그래프 이론

답: 간선 EF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. AC (4)
2. BC (8)
3. BE (10)
4. EF (15)
5. DF (9)

간선 번호 4

EF

답

간선 EF

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