자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(n)의 해는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬된 배열에서 비교 기반 탐색은 왜 최악의 경우 Ω(log n)번의 비교가 필요합니까?

A이진 탐색이 유일하게 가능한 알고리즘이며 log₂ n번의 비교가 필요하기 때문에
B비교 하나하나가 로그 시간이 걸리기 때문에
C가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
D모든 원소를 최소 한 번은 비교해야 하기 때문에

3.자료구조보통

실제로 배열 순회가 같은 길이의 연결 리스트 순회보다 훨씬 빠른 경우가 많은 이유는 무엇입니까?

A연결 리스트는 항상 원소를 디스크에 저장하기 때문에
B배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
C배열은 값 비교에 더 적은 명령어를 쓰기 때문에
D배열 순회는 전체가 O(1)이고 연결 리스트 순회는 O(n)이기 때문에

4.자료구조어려움

스플레이 트리는 접근할 때마다 무엇을 합니까?

A트리 전체를 균형 잡힌 형태로 다시 만든다
B접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
C탐색 경로의 노드 색을 바꾼다
D접근한 노드를 리프로 옮긴다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 14개이고 간선이 22개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 14|E| = 22

k =

6.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7

W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n)

이것이 답인 이유

마스터 정리(master theorem)에 의해(a = 2, b = 2, f(n) = n) T(n) = Θ(n log n)입니다.

답

A · O(n log n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

이것이 답인 이유

각 비교는 남은 가능성의 집합을 많아야 절반으로 줄이므로, n개의 위치를 구별하려면 최소 log₂ n번의 비교가 필요합니다.

답

C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

3.자료구조

답: B · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

이것이 답인 이유

연속된 메모리는 참조 지역성이 좋지만, 연결된 노드는 흩어져 있어 캐시 미스를 많이 일으킬 수 있습니다.

답

B · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

4.자료구조

답: B · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

이것이 답인 이유

스플레이는 회전을 통해 접근한 노드를 루트로 옮깁니다. 연산 한 번은 O(n)이 들 수 있지만 분할 상환 비용은 O(log n)입니다.

답

B · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

14 − 1 = 13

제거할 간선

k = 22 − 13 = 9

답

k = 9

6.그래프 이론

답: W = 36

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BE (5): 선택

AB (7): 선택

AC (9): 선택

BC (13): 건너뜀, 사이클이 생김

DE (15): 선택

총 가중치

W = 5 + 7 + 9 + 15 = 36

답

W = 36

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