자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

외판원 문제는 어떻게 분류됩니까?

  1. A결정 버전은 P에 속하지만 최적화 버전은 NP-complete이다
  2. B결정 불가능하다
  3. C다익스트라 알고리즘이 모든 도시를 한 번씩 방문하여 풀기 때문에 P에 속한다
  4. D결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
  2. B모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  3. C배열의 마지막 원소를 제거한다
  4. D마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

  1. A버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
  2. Bfront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다
  3. C원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
  4. Dfront와 rear를 같은 변수에 저장한다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

C에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

C · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다

이것이 답인 이유

"길이가 최대 k인 순회가 있는가?"는 NP-complete입니다. 최단 순회를 찾는 것은 최소한 그만큼 어려우므로 NP-hard입니다.

답

D · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
3.자료구조

답: D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

D · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: C · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

C · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

답

N = 3

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