자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동전이 1, 3, 4이고 금액이 6일 때, 탐욕적인 "가장 큰 동전 먼저" 방법은 최적과 비교하여 동전을 몇 개 사용합니까?

  1. A탐욕은 3개, 최적은 3개
  2. B탐욕은 3개, 최적은 2개
  3. C탐욕은 2개, 최적은 2개
  4. D탐욕은 4개, 최적은 3개
2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

  1. A일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
  2. B모든 프로그램은 결국 정지한다
  3. C루프는 피해야 한다
  4. D모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
3.자료구조보통

이진 탐색 트리의 한 노드에 오른쪽 서브트리가 있습니다. 그 노드의 중위 후속자(in-order successor)는 어디에 있습니까?

  1. A오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
  2. B항상 오른쪽 자식
  3. C왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드
  4. D항상 부모
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 스트림에서 O(k) 메모리로 가장 작은 값 k개를 유지해야 합니다. O(n log k) 시간에 동작하는 방법은 무엇입니까?

  1. An개의 값을 모두 담는 정렬된 배열
  2. B크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
  3. C마지막 k개 값의 FIFO 큐
  4. Dn개의 값을 모두 담는 최소 힙에서 마지막에 가장 작은 k개를 꺼낸다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 16개이고 간선이 24개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.그래프 이론어려움
676314731598ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 탐욕은 3개, 최적은 2개

이것이 답인 이유

탐욕은 4 + 1 + 1 = 3개를 쓰지만 3 + 3은 2개만 쓰므로, 이 동전 체계에서 탐욕은 최적이 아니고 동적 계획법이 최적입니다.

답

B · 탐욕은 3개, 최적은 2개
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

D · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
3.자료구조

답: A · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드

이것이 답인 이유

노드보다 크면서 가까운 키는 모두 오른쪽 서브트리에 있고, 그중 가장 작은 것은 그곳의 가장 왼쪽 노드입니다.

답

A · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
4.자료구조

답: B · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

이것이 답인 이유

최대 힙의 루트는 유지하는 값 중 가장 큰 값입니다. 그보다 작은 새 값은 O(log k)에 그것을 대체하므로, 힙은 항상 지금까지의 가장 작은 k개를 담습니다.

답

B · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

16 − 1 = 15

제거할 간선

k = 24 − 15 = 9

답

k = 9
6.그래프 이론

답: C

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 6, C: 7
2. B (6): D: 9
3. C (7): G: 22
4. D (9): E: 23, F: 16, G: 18
5. F (16): E: 19
6. G (18)
7. E (19)

단계 3

C

답

C

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