자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A모든 그래프에서의 위상 순서
  2. B시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  3. C최소 신장 트리
  4. D음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

  1. A루프는 피해야 한다
  2. B일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
  3. C모든 프로그램은 결국 정지한다
  4. D모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
3.자료구조보통

원소가 n개인 배열의 중간에 원소를 삽입하는 비용은 얼마입니까?

  1. A뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
  2. B이진 탐색 때문에 O(log n)
  3. C인덱스를 알고 있으므로 O(1)
  4. D각 원소가 n번 이동하므로 O(n²)
4.자료구조어려움

서버가 해시 함수를 범용(universal) 해시 함수족에서 무작위로 고르는 이유는 무엇일 수 있습니까?

  1. A공격자가 어떤 키를 보내더라도 어떤 두 키도 결코 충돌하지 않도록 보장하기 위해
  2. B테이블 크기 조정의 필요를 없애기 위해
  3. C해시 테이블을 정렬된 상태로 만들기 위해
  4. D공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
54813214111ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

D · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
3.자료구조

답: A · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)

이것이 답인 이유

삽입 지점 이후의 모든 원소가 오른쪽으로 한 칸씩 이동하므로 n에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

A · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
4.자료구조

답: D · 공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해

이것이 답인 이유

범용 해싱에서는 공격자가 어떤 함수가 선택되었는지 모르므로 어떤 키 집합에 대해서도 기대 충돌 수가 작습니다.

답

D · 공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: C

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 9, D: 13, E: 16
3. C (9)
4. D (13): E: 15, F: 27
5. E (15): F: 16
6. F (16)

단계 3

C

답

C

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