자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
  2. B모든 그래프에서의 위상 순서
  3. C최소 신장 트리
  4. D시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도어려움

새 문제 X가 NP-hard임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?

  1. AX를 다항 시간에 알려진 NP-hard 문제로 환원한다
  2. B작은 입력에서 X에 다항 알고리즘이 없음을 보인다
  3. CX를 다항 시간에 검증할 수 있음을 보인다
  4. D알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
3.자료구조보통

AVL 트리는 모든 노드에서 어떤 균형 조건을 유지합니까?

  1. A모든 노드의 두 서브트리가 정확히 같은 수의 노드를 포함한다
  2. B모든 리프가 정확히 같은 깊이에 있다
  3. C왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다
  4. D모든 노드가 빨간색 또는 검은색으로 칠해져 있다
4.자료구조어려움

배열에서 크기 k인 모든 윈도우의 최댓값을 전체 O(n)에 계산할 수 있게 하는 구조는 무엇입니까?

  1. A윈도우마다 다시 만드는 최소 힙
  2. B이동으로 갱신하는 정렬된 배열
  3. C값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
  4. D윈도우 원소들의 단일 연결 리스트
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
712610211719ABCDEF

프림 알고리즘이 정점 B에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Bk = 4
  1. 1간선 AC
  2. 2간선 BC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 CE
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다

이것이 답인 이유

알려진 어려운 문제를 효율적으로 X로 변환할 수 있다면, X에 대한 빠른 알고리즘은 알려진 문제도 풀게 됩니다.

답

D · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
3.자료구조

답: C · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다

이것이 답인 이유

균형 인수(왼쪽 높이 − 오른쪽 높이)는 −1, 0, 1 중 하나여야 하며, 삽입과 삭제 후에는 회전으로 이를 회복합니다.

답

C · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다
4.자료구조

답: C · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱

이것이 답인 이유

덱의 앞은 항상 윈도우의 최댓값입니다. 각 인덱스는 덱에 한 번 들어오고 한 번 나가므로 작업량은 선형입니다.

답

C · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: 간선 CE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. BD (6)
2. DF (1)
3. DE (2)
4. CE (10)
5. AC (7)

간선 번호 4

CE

답

간선 CE

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