자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

AΩ(n)
BΩ(n²)
CΩ(log n)
DΩ(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

새 문제 X가 NP-hard임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?

A작은 입력에서 X에 다항 알고리즘이 없음을 보인다
BX를 다항 시간에 알려진 NP-hard 문제로 환원한다
C알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
DX를 다항 시간에 검증할 수 있음을 보인다

3.자료구조보통

큐를 스택 두 개로 구현합니다. "in" 스택에 push하고 "out" 스택에서 pop하며, "out"이 비면 "in"에서 다시 채웁니다. 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(1)

4.자료구조어려움

레드-블랙 트리 규칙은 키가 n개인 트리의 높이에 대해 무엇을 보장합니까?

A높이는 최대 n / 2이다
B높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다
C높이는 최대 log₂ n + 1이다
D높이는 정확히 log₂ n이다

5.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

6.그래프 이론어려움

B에서 D까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

D · Ω(n log n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다

이것이 답인 이유

알려진 어려운 문제를 효율적으로 X로 변환할 수 있다면, X에 대한 빠른 알고리즘은 알려진 문제도 풀게 됩니다.

답

C · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다

3.자료구조

답: D · O(1)

이것이 답인 이유

각 원소는 모두 합쳐 최대 두 번 push되고 pop되므로, 한 번의 다시 채우기가 O(n)이 걸릴 수 있더라도 연산 순서 전체의 평균은 O(1)입니다.

답

D · O(1)

4.자료구조

답: B · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

이것이 답인 이유

모든 경로에 검은 노드 수가 같고 빨간 노드는 이웃할 수 없으므로 가장 긴 경로는 가장 짧은 경로의 최대 두 배이며, 높이는 O(log n)이 됩니다.

답

B · 높이는 최대 2 log₂(n + 1)이다

5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

홀수 정점

A, B, C, E → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

6.그래프 이론

답: N = 5

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 0

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 0 1 1 0

한 걸음 더

(M³)_BD = 1·0 + 3·1 + 1·0 + 0·0 + 2·1 = 5

답

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms