자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
  2. B시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  3. C최소 신장 트리
  4. D모든 그래프에서의 위상 순서
2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

  1. An이 항상 작기 때문이다
  2. B알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
  3. CW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
  4. DW = 0일 때만 작동하기 때문이다
3.자료구조보통

리스트 중간에 있는 노드에 대한 참조가 있습니다. 어떤 리스트에서 그 노드를 O(1)에 제거할 수 있습니까?

  1. A정렬된 배열
  2. B단일 연결 리스트
  3. C동적 배열
  4. D이중 연결 리스트
4.자료구조어려움

이중 해싱은 주로 선형 탐사의 어떤 문제를 줄입니까?

  1. A키를 테이블에 저장해야 한다는 것
  2. B해시 함수가 필요하다는 것
  3. C차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)
  4. D키의 값을 읽는 O(n) 비용
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 3개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: C · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

C · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
3.자료구조

답: D · 이중 연결 리스트

이것이 답인 이유

이중 연결 노드는 자신의 이전 노드를 알기 때문에 prev와 next를 직접 다시 연결할 수 있습니다. 단일 연결 리스트는 이전 노드를 찾아야 합니다.

답

D · 이중 연결 리스트
4.자료구조

답: C · 차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)

이것이 답인 이유

선형 탐사는 1씩 이동하므로 차 있는 구간이 커지고 합쳐집니다. 이중 해싱은 두 번째 해시를 이동 폭으로 사용하므로 서로 다른 키가 서로 다른 순서로 탐사합니다.

답

C · 차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)
5.그래프 이론

답: L = 21

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 47 = 2(L + 14) − 2
L = 21

답

L = 21

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

답

N = 3

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