자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순 재귀 피보나치(fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2))의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. A로그 시간
  2. B지수 시간
  3. C상수 시간
  4. D선형 시간
2.알고리즘과 복잡도어려움

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.자료구조보통

원형 버퍼(링 버퍼)는 일반적으로 무엇을 구현하는 데 사용됩니까?

  1. A그래프 순회
  2. B해시 함수
  3. C이진 탐색 트리
  4. D고정 크기 큐
4.자료구조어려움

키 5, 3, 8, 1을 이 순서로 빈 배열 기반 이진 최소 힙에 삽입합니다. 최종 배열은 무엇입니까?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 10개이고 간선이 19개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 10|E| = 19
k =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 지수 시간

이것이 답인 이유

호출 트리는 대략 φⁿ(약 1.618ⁿ)처럼 증가합니다. 메모이제이션을 사용하면 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

답

B · 지수 시간
2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n)

이것이 답인 이유

합은 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn이고, 조화수 Hn은 Θ(log n)입니다.

답

A · O(n log n)
3.자료구조

답: D · 고정 크기 큐

이것이 답인 이유

링 버퍼는 순환하는 head와 tail 인덱스를 사용하여 고정된 메모리에서 O(1) enqueue와 dequeue를 제공합니다.

답

D · 고정 크기 큐
4.자료구조

답: B · [1, 3, 8, 5]

이것이 답인 이유

5, 3, 8 다음에 배열은 [3, 5, 8]입니다. 1은 인덱스 3에 들어가 부모 5와 교환된 뒤 3과 교환되어 [1, 3, 8, 5]가 됩니다.

답

B · [1, 3, 8, 5]
5.그래프 이론

답: k = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

10 − 1 = 9

제거할 간선

k = 19 − 9 = 10

답

k = 10
6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

공통 이웃

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

답

N = 2

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