자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(n²) 알고리즘이 O(n³)이기도 하다고 말하는 것은 옳습니까?

  1. A예, 단 n이 100보다 작을 때만
  2. B아니요, Big O는 함수의 정확한 증가율을 항상 나타내야 하기 때문에
  3. C예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
  4. D아니요, 큰 n에서 n³이 n²보다 작기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

단일 연결 리스트에서 이진 탐색이 O(log n) 시간을 주지 못하는 이유는 무엇입니까?

  1. A직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에
  2. B연결 리스트는 정렬할 수 없기 때문에
  3. C이진 탐색에는 최소 두 배의 메모리가 필요하기 때문에
  4. D연결 리스트 노드의 비교가 더 느리기 때문에
3.자료구조보통

인덱스 0부터 시작하는 배열에 저장된 이진 힙에서 인덱스 i인 노드의 부모는 어디에 있습니까?

  1. A인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. B인덱스 ⌊i / 2⌋ + 1
  3. C인덱스 i − 1
  4. D인덱스 2i + 1
4.자료구조어려움

위상 정렬을 위한 칸(Kahn) 알고리즘은 진입 차수가 0인 정점을 반복해서 제거합니다. 그런 정점들은 어떤 구조에 보관됩니까?

  1. A방문한 모든 간선의 스택
  2. B진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
  3. C이미 제거된 정점이 어느 것인지 기록하는 인접 행렬
  4. D진출 차수로 정렬된 최대 힙
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
51510481247ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에

이것이 답인 이유

Big O는 상한이므로 이 진술은 참이지만 정확한 한계는 아닙니다. Θ(n²)이 정확한 증가율을 나타냅니다.

답

C · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

이것이 답인 이유

이진 탐색은 가운데에 O(1)로 접근해야 합니다. 연결 리스트에서는 그곳까지 걸어가는 데 선형 시간이 들어 전체가 O(n)이 됩니다.

답

A · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에
3.자료구조

답: A · 인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋

이것이 답인 이유

i의 자식은 2i + 1과 2i + 2에 있으므로 i의 부모는 ⌊(i − 1) / 2⌋입니다. 1부터 시작하는 인덱스에서는 ⌊i / 2⌋입니다.

답

A · 인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.자료구조

답: B · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)

이것이 답인 이유

준비된 정점들은 큐에 보관됩니다. 하나를 제거하면 이웃의 진입 차수가 줄고, 0에 도달한 정점은 추가되어 O(V + E) 시간이 걸립니다.

답

B · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

홀수 정점

D, E → 2
오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: d(F) = 16

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 5
B (5): C: 20, D: 15, E: 12
E (12): C: 16, F: 16
D (15)
C (16)
F (16)

최단 경로

A → B → E → F
d(F) = 16

답

d(F) = 16

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