자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

새 문제 X가 NP-hard임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?

  1. A알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
  2. BX를 다항 시간에 검증할 수 있음을 보인다
  3. C작은 입력에서 X에 다항 알고리즘이 없음을 보인다
  4. DX를 다항 시간에 알려진 NP-hard 문제로 환원한다
3.자료구조보통

깊이 우선 탐색(반복 버전)에서 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A힙
  2. B스택
  3. C큐
  4. D해시 테이블만
4.자료구조어려움

기수 트리(radix tree, 압축 트라이)는 일반 트라이를 어떻게 개선합니까?

  1. A각 단어를 개별 노드가 아니라 루트의 해시 테이블에 저장한다
  2. B각 단어의 첫 글자만 유지한다
  3. C각 노드의 자식을 빈도순으로 정렬한다
  4. D자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 13개이고 간선이 17개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 13|E| = 17
k =
6.그래프 이론어려움
17214111012139ABCDEF

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n²)

이것이 답인 이유

안쪽 본문은 모두 n(n + 1) / 2번 실행되며, 이는 여전히 이차입니다.

답

B · O(n²)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다

이것이 답인 이유

알려진 어려운 문제를 효율적으로 X로 변환할 수 있다면, X에 대한 빠른 알고리즘은 알려진 문제도 풀게 됩니다.

답

A · 알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
3.자료구조

답: B · 스택

이것이 답인 이유

DFS는 가능한 한 깊이 탐색하므로 자연스럽게 스택(또는 재귀의 호출 스택)을 사용하고, BFS는 큐를 사용합니다.

답

B · 스택
4.자료구조

답: D · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

이것이 답인 이유

분기가 없는 경로를 접으면 접두사 탐색은 유지하면서 노드 수와 메모리 사용량이 줄어듭니다.

답

D · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다
5.그래프 이론

답: k = 5

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

13 − 1 = 12

제거할 간선

k = 17 − 12 = 5

답

k = 5
6.그래프 이론

답: 간선 DF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. AC (2)
2. BE (9)
3. CE (10)
4. BD (11)
5. DF (12)

간선 번호 5

DF

답

간선 DF

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