자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열에 대한 병합 정렬의 재귀에는 몇 개의 단계가 있습니까?

  1. A약 n
  2. B약 √n
  3. C약 n / 2
  4. D약 log₂ n
2.알고리즘과 복잡도어려움

마스터 정리를 사용하면 T(n) = 8T(n/2) + O(n²)의 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n²)
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  2. B배열의 마지막 원소를 제거한다
  3. C마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
  4. D루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
4.자료구조어려움

힙 정렬에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
  2. B어떤 입력에서든 O(n) 시간에 실행된다
  3. C안정적이며 O(n)의 추가 메모리가 필요하다
  4. D추가 저장소로 이진 탐색 트리가 필요하므로 O(n)의 추가 메모리를 쓴다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 15개이고 간선이 22개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

F에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 약 log₂ n

이것이 답인 이유

n에서 1까지 절반씩 줄이면 약 log₂ n 단계가 걸리고 각 단계에서 O(n)의 병합 작업을 하므로 O(n log n)입니다.

답

D · 약 log₂ n
2.알고리즘과 복잡도

답: A · Θ(n³)

이것이 답인 이유

log₂ 8 = 3이고 n²은 n³보다 느리게 증가하므로 리프가 지배합니다: Θ(n³).

답

A · Θ(n³)
3.자료구조

답: C · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

C · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: A · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다

이것이 답인 이유

힙 정렬은 최대 힙을 만들고 같은 배열 안에서 최댓값을 n번 추출합니다. 먼 거리의 교환이 같은 키의 순서를 바꿀 수 있습니다.

답

A · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
5.그래프 이론

답: k = 8

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

15 − 1 = 14

제거할 간선

k = 22 − 14 = 8

답

k = 8
6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

답

N = 2

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