자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

많은 라이브러리 정렬 루틴이 아주 작은 부분 배열에서 삽입 정렬로 전환하는 이유는 무엇입니까?

  1. A재귀 알고리즘은 원소가 10개 미만인 배열을 처리하지 못하기 때문에
  2. B삽입 정렬은 최악의 경우 O(n log n)이기 때문에
  3. C큰 입력에서 삽입 정렬이 다른 어떤 정렬 알고리즘보다 메모리를 적게 쓰기 때문에
  4. D삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

큰 n에서 n!과 2ⁿ은 어떻게 비교됩니까?

  1. An!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
  2. B2ⁿ이 n!보다 빠르게 증가한다
  3. Cn!은 O(n²)이다
  4. D같은 비율로 증가한다
3.자료구조보통

원소가 n개인 배열의 중간에 원소를 삽입하는 비용은 얼마입니까?

  1. A인덱스를 알고 있으므로 O(1)
  2. B각 원소가 n번 이동하므로 O(n²)
  3. C이진 탐색 때문에 O(log n)
  4. D뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
4.자료구조어려움

모든 B-트리를 완벽하게 균형 잡힌 상태로 유지하는 성질은 무엇입니까?

  1. A각 노드가 키를 하나 저장한다
  2. B모든 노드의 자식이 정확히 두 개이다
  3. C키는 루트에만 저장된다
  4. D모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 2개, 차수가 5인 정점 2개, 차수가 2인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

C에서 A까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에

이것이 답인 이유

n이 작으면 삽입 정렬의 단순한 루프가 O(n²)이더라도 퀵 정렬이나 병합 정렬의 재귀 오버헤드보다 빠릅니다.

답

D · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다

이것이 답인 이유

n ≥ 4에서 n!은 2ⁿ을 넘고, n!의 추가 인수가 각각 2보다 크므로 그 비는 한없이 커집니다.

답

A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
3.자료구조

답: D · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)

이것이 답인 이유

삽입 지점 이후의 모든 원소가 오른쪽으로 한 칸씩 이동하므로 n에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

D · 뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
4.자료구조

답: D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다

이것이 답인 이유

노드는 가득 차면 위로 분할되고, 트리는 루트가 분할될 때만 높아지므로 모든 리프는 항상 같은 레벨에 있습니다.

답

D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론

답: L = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

답

L = 12

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

답

N = 1

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