자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순 재귀 피보나치(fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2))의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. A지수 시간
  2. B상수 시간
  3. C선형 시간
  4. D로그 시간
2.알고리즘과 복잡도어려움

벨만-포드 알고리즘은 출발점에서 도달 가능한 음의 가중치 사이클을 어떻게 탐지합니까?

  1. A음의 가중치를 가진 간선이 있는지 확인한다
  2. B깊이 우선 탐색으로 사이클 수를 센다
  3. C다익스트라 알고리즘을 두 번 실행하여 두 거리 결과를 비교한다
  4. DV − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
3.자료구조보통

후위 표기식 3 4 + 2 * 의 값은 얼마입니까?

  1. A11
  2. B10
  3. C24
  4. D14
4.자료구조어려움

모든 B-트리를 완벽하게 균형 잡힌 상태로 유지하는 성질은 무엇입니까?

  1. A모든 노드의 자식이 정확히 두 개이다
  2. B키는 루트에만 저장된다
  3. C각 노드가 키를 하나 저장한다
  4. D모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
1054178157ABCDE

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 지수 시간

이것이 답인 이유

호출 트리는 대략 φⁿ(약 1.618ⁿ)처럼 증가합니다. 메모이제이션을 사용하면 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

답

A · 지수 시간
2.알고리즘과 복잡도

답: D · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다

이것이 답인 이유

진짜 최단 거리는 모두 V − 1 라운드 안에 구해집니다. 그 후에도 간선을 개선할 수 있다면 음의 사이클이 존재해야 합니다.

답

D · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
3.자료구조

답: D · 14

이것이 답인 이유

3과 4를 push하고 +로 7을 얻습니다. 2를 push하고 *로 7 × 2 = 14를 얻습니다.

답

D · 14
4.자료구조

답: D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다

이것이 답인 이유

노드는 가득 차면 위로 분할되고, 트리는 루트가 분할될 때만 높아지므로 모든 리프는 항상 같은 레벨에 있습니다.

답

D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: W = 31

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BC (4): 선택
AC (5): 선택
BE (7): 선택
CE (8): 건너뜀, 사이클이 생김
AB (10): 건너뜀, 사이클이 생김
DE (15): 선택

총 가중치

W = 4 + 5 + 7 + 15 = 31

답

W = 31

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