자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

분할 상환 분석(amortised analysis)은 무엇을 측정합니까?

  1. A최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
  2. B무작위 입력에 대한 기대 비용
  3. C최선의 입력에서 알고리즘의 비용
  4. D연산열 전체에서 가장 비싼 단일 연산 하나의 비용
2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬되지 않은 배열에서 k번째로 작은 원소를 선택하는 것에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다
  2. B선택은 정렬이 필요하므로 항상 Ω(n log n)이 필요하다
  3. C퀵셀렉트는 피벗의 한쪽에만 재귀하므로 최악의 경우에도 O(log n)에 실행된다
  4. D선택은 O(n²)에만 가능하다
3.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
4.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log log n)
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 12개이고 간선이 18개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 12|E| = 18
k =
6.그래프 이론어려움
10151412128115ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용

이것이 답인 이유

분할 상환 분석은 드물고 비싼 연산의 비용을 많은 싼 연산에 분산시켜 어떤 순서에 대해서도 보장된 평균을 제공합니다.

답

A · 최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 쓰면 퀵셀렉트의 기대 작업량은 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)입니다. 피벗을 중앙값의 중앙값으로 고르면 최악의 경우도 선형이 됩니다.

답

A · 퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다
3.자료구조

답: B · O(log n)

이것이 답인 이유

균형 트리의 높이는 약 log₂ n이므로, 탐색은 루트에서 리프까지 하나의 경로만 따라갑니다.

답

B · O(log n)
4.자료구조

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

힙에는 어떤 서브트리에 키가 있는지에 대한 규칙이 없으므로 최악의 경우 모든 노드를 확인해야 합니다. 빠르게 찾을 수 있는 것은 최솟값뿐입니다.

답

C · O(n)
5.그래프 이론

답: k = 7

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

12 − 1 = 11

제거할 간선

k = 18 − 11 = 7

답

k = 7
6.그래프 이론

답: d(F) = 26

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 10, C: 15
B (10): D: 22, E: 15
C (15)
E (15): F: 26
D (22)
F (26)

최단 경로

A → B → E → F
d(F) = 26

답

d(F) = 26

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