자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

위상 정렬은 어떤 그래프에서만 가능합니까?

  1. A완전 그래프
  2. B방향성 비순환 그래프(DAG)
  3. C음의 가중치를 가진 그래프
  4. D무방향 그래프
3.자료구조보통

이진 트리의 루트는 1이고 왼쪽 자식은 2, 오른쪽 자식은 3입니다. 노드 2의 자식은 4(왼쪽)와 5(오른쪽)입니다. 전위 순회 결과는 무엇입니까?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.자료구조어려움

단일 연결 리스트를 제자리에서 뒤집는 데 드는 시간과 추가 공간 비용은 얼마입니까?

  1. AO(1) 시간과 O(1) 추가 공간
  2. BO(n log n) 시간과 O(1) 추가 공간
  3. CO(n) 시간과 O(n) 추가 공간
  4. DO(n) 시간과 O(1) 추가 공간
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
91822012114517416ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 11
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n²)

이것이 답인 이유

안쪽 본문은 모두 n(n + 1) / 2번 실행되며, 이는 여전히 이차입니다.

답

A · O(n²)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 방향성 비순환 그래프(DAG)

이것이 답인 이유

위상 순서는 방향 그래프에 사이클이 없을 때에만 존재하며, DFS나 Kahn 알고리즘으로 O(V + E)에 찾을 수 있습니다.

답

B · 방향성 비순환 그래프(DAG)
3.자료구조

답: D · 1 2 4 5 3

이것이 답인 이유

전위 순회는 1, 그다음 왼쪽 서브트리(2, 4, 5), 그다음 3을 방문합니다. 나머지 선택지는 중위, 후위, 레벨 순서 순회입니다.

답

D · 1 2 4 5 3
4.자료구조

답: D · O(n) 시간과 O(1) 추가 공간

이것이 답인 이유

포인터 세 개(이전, 현재, 다음)를 유지하면 새 노드를 할당하지 않고 한 번의 패스로 각 링크를 뒤집을 수 있습니다.

답

D · O(n) 시간과 O(1) 추가 공간
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

홀수 정점

A, B, D, E → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: W = 35

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

DE (1): 선택
BC (2): 선택
GD (4): 선택
GB (5): 선택
AB (9): 선택
CE (12): 건너뜀, 사이클이 생김
DF (14): 선택

총 가중치

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 9 + 14 = 35

답

W = 35

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