자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(n)의 해는 무엇입니까?

AO(2ⁿ)
BO(n²)
CO(n)
DO(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

헬드-카프 동적 계획법 알고리즘은 외판원 문제를 정확히 풉니다. 도시가 n개일 때 실행 시간은 얼마입니까?

AO(n² 2ⁿ)
BO(2^n²)
CO(n³)
DO(n!)

3.자료구조보통

키를 정렬된 순서로 삽입하면, n개의 노드를 가진 이진 탐색 트리의 최악의 높이는 얼마입니까?

A1
Blog₂ n
C√n
Dn (연결 리스트처럼 됨)

4.자료구조어려움

동적 배열은 가득 차면 두 배로 커집니다. 많은 구현이 배열이 절반이 아니라 4분의 1만 찼을 때에만 축소하는 이유는 무엇입니까?

A절반에서 반으로 줄이면 원소를 잃기 때문에
B경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해
C메모리 할당기가 블록의 4분의 1 단위로만 메모리를 해제할 수 있기 때문에
D배열을 정렬된 상태로 유지하기 위해

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₇의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₇

H =

6.그래프 이론어려움

C에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n²)

이것이 답인 이유

작업량의 합은 약 n² / 2이며, 이는 선택 정렬이나 최악의 피벗을 고른 퀵 정렬의 점화식입니다.

답

B · O(n²)

2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n² 2ⁿ)

이것이 답인 이유

상태가 약 n 2ⁿ개이고 각각 O(n)에 계산됩니다. 이는 지수 시간이지만 (n − 1)!개의 순회를 모두 시도하는 것보다 훨씬 빠릅니다.

답

A · O(n² 2ⁿ)

3.자료구조

답: D · n (연결 리스트처럼 됨)

이것이 답인 이유

정렬된 순서로 삽입하면 높이가 n인 퇴화 트리가 만들어져 탐색이 O(n)이 됩니다. 균형 트리는 이를 방지합니다.

답

D · n (연결 리스트처럼 됨)

4.자료구조

답: B · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

이것이 답인 이유

절반에서 축소하면 그런 연산 순서에서는 매 연산마다 크기 조정이 일어날 수 있습니다. 1/4과 가득 찬 상태 사이의 간격이 분할 상환 비용을 O(1)로 유지합니다.

답

B · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

5.그래프 이론

답: H = 360

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 0

E: 0 1 1 0 0

공통 이웃

(M²)_CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

답

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms